გადაწყვიტეთ x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -\frac{1}{2},1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(2x+1\right)-ზე, 2x+1,x-1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

გადაამრავლეთ x-1 და x-1, რათა მიიღოთ \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

გადაამრავლეთ 2x+1 და 2x+1, რათა მიიღოთ \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 2x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x^{2}-x-1 3-ზე.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და 6x^{2}, რათა მიიღოთ 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

გამოაკელით 3 1-ს -2-ის მისაღებად.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

გამოაკელით 10x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -10x^{2}, რათა მიიღოთ -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

დააჯგუფეთ -2x და -x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

შეკრიბეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -9-ით a, -3-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 36-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

მიუმატეთ 9 108-ს.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

აიღეთ 117-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -9.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 3\sqrt{13}-ს.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

გაყავით 3+3\sqrt{13} -18-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3\sqrt{13} 3-ს.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

გაყავით 3-3\sqrt{13} -18-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -\frac{1}{2},1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(2x+1\right)-ზე, 2x+1,x-1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

გადაამრავლეთ x-1 და x-1, რათა მიიღოთ \left(x-1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

გადაამრავლეთ 2x+1 და 2x+1, რათა მიიღოთ \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2x+1\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 2x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x^{2}-x-1 3-ზე.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

დააჯგუფეთ 4x^{2} და 6x^{2}, რათა მიიღოთ 10x^{2}.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

დააჯგუფეთ 4x და -3x, რათა მიიღოთ x.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

გამოაკელით 3 1-ს -2-ის მისაღებად.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

გამოაკელით 10x^{2} ორივე მხარეს.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -10x^{2}, რათა მიიღოთ -9x^{2}.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

გამოაკელით x ორივე მხარეს.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

დააჯგუფეთ -2x და -x, რათა მიიღოთ -3x.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

გამოაკელით 1 -2-ს -3-ის მისაღებად.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

-9-ზე გაყოფა აუქმებს -9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{-9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{-9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

გაყავით \frac{1}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} \frac{1}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

გამოაკელით \frac{1}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$