გადაწყვიტეთ x+1/x^2+1-1/2=0

$$\frac{ x+1 }{ { x }^{ 2 } +1 } - \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2.414213562$$

$$x=1-\sqrt{2}\approx -0.414213562$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2\left(x^{2}+1\right)-ზე, x^{2}+1,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

გადაამრავლეთ 2 და -\frac{1}{2}, რათა მიიღოთ -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

x^{2}+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

გამოაკელით 1 2-ს 1-ის მისაღებად.

$$2x+1-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+2x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 2-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 4 4-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 8-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-2}{-2}$$

გაყავით -2+2\sqrt{2} -2-ზე.

$$x=1-\sqrt{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{2}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{2} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-2}{-2}$$

გაყავით -2-2\sqrt{2} -2-ზე.

$$x=\sqrt{2}+1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1-\sqrt{2} x=\sqrt{2}+1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 2\left(x^{2}+1\right)-ზე, x^{2}+1,2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$2\left(x+1\right)+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 x+1-ზე.

$$2x+2+2\left(x^{2}+1\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=0$$

გადაამრავლეთ 2 და -\frac{1}{2}, რათა მიიღოთ -1.

$$2x+2-\left(x^{2}+1\right)=0$$

x^{2}+1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2x+2-x^{2}-1=0$$

გამოაკელით 1 2-ს 1-ის მისაღებად.

$$2x+1-x^{2}=0$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2x-x^{2}=-1$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

გაყავით 2 -1-ზე.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{-1}$$

გაყავით -1 -1-ზე.

$$x^{2}-2x=1$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=1+1$$

მიუმატეთ 1 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=2$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-2x+1. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=2$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=\sqrt{2} x-1=-\sqrt{2}$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$