გადაწყვიტეთ 400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

$$x=60$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -20,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+20\right)-ზე, x+20,x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გაყავით 400 5-ზე 80-ის მისაღებად.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გადაამრავლეთ 80 და 2, რათა მიიღოთ 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

დააჯგუფეთ x\times 400 და x\times 160, რათა მიიღოთ 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გაყავით 400 5-ზე 80-ის მისაღებად.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გადაამრავლეთ 80 და 3, რათა მიიღოთ 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+20 240-ზე.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

დააჯგუფეთ 560x და 240x, რათა მიიღოთ 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 11x x+20-ზე.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

გამოაკელით 11x^{2} ორივე მხარეს.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

გამოაკელით 220x ორივე მხარეს.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

დააჯგუფეთ 800x და -220x, რათა მიიღოთ 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -11x^{2}+ax+bx+4800. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -52800.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 580.

$$a=660 b=-80$$

ხელახლა დაწერეთ -11x^{2}+580x+4800, როგორც \left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right).

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

11x-ის პირველ, 80-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+60 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+60=0 და 11x+80=0.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -20,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+20\right)-ზე, x+20,x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გაყავით 400 5-ზე 80-ის მისაღებად.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გადაამრავლეთ 80 და 2, რათა მიიღოთ 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

დააჯგუფეთ x\times 400 და x\times 160, რათა მიიღოთ 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გაყავით 400 5-ზე 80-ის მისაღებად.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გადაამრავლეთ 80 და 3, რათა მიიღოთ 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+20 240-ზე.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

დააჯგუფეთ 560x და 240x, რათა მიიღოთ 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 11x x+20-ზე.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

გამოაკელით 11x^{2} ორივე მხარეს.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

გამოაკელით 220x ორივე მხარეს.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

დააჯგუფეთ 800x და -220x, რათა მიიღოთ 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -11-ით a, 580-ით b და 4800-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 580.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -11.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

გაამრავლეთ 44-ზე 4800.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

მიუმატეთ 336400 211200-ს.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

აიღეთ 547600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -11.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-580±740}{-22} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -580 740-ს.

$$x=\frac{160}{-22}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{160}{-22} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{80}{11}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-580±740}{-22} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 740 -580-ს.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

გაყავით -1320 -22-ზე.

$$x=60$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -20,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+20\right)-ზე, x+20,x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გაყავით 400 5-ზე 80-ის მისაღებად.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გადაამრავლეთ 80 და 2, რათა მიიღოთ 160.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

დააჯგუფეთ x\times 400 და x\times 160, რათა მიიღოთ 560x.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გაყავით 400 5-ზე 80-ის მისაღებად.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

გადაამრავლეთ 80 და 3, რათა მიიღოთ 240.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+20 240-ზე.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

დააჯგუფეთ 560x და 240x, რათა მიიღოთ 800x.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 11x x+20-ზე.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

გამოაკელით 11x^{2} ორივე მხარეს.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

გამოაკელით 220x ორივე მხარეს.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

დააჯგუფეთ 800x და -220x, რათა მიიღოთ 580x.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

გამოაკელით 4800 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

ორივე მხარე გაყავით -11-ზე.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

-11-ზე გაყოფა აუქმებს -11-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

გაყავით 580 -11-ზე.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

გაყავით -4800 -11-ზე.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

გაყავით -\frac{580}{11}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{290}{11}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{290}{11}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{290}{11} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

მიუმატეთ \frac{4800}{11} \frac{84100}{121}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

მიუმატეთ \frac{290}{11} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$