გადაწყვიტეთ frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

ამოხსნა b-ისთვის

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

ფესვიანი განტოლებების ამოხსნის ეტაპები

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2+\sqrt{5}-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

განვიხილოთ \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2. აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

გამოაკელით 5 4-ს -1-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

გადაამრავლეთ 2+\sqrt{5} და 2+\sqrt{5}, რათა მიიღოთ \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5}-ის კვადრატია 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

შეკრიბეთ 4 და 5, რათა მიიღოთ 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ყველაფერი, რაც იყოფა -1-ზე, საპირისპირო პასუხს იძლევა. 9+4\sqrt{5}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2-\sqrt{5}-ზე გამრავლებით.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

განვიხილოთ \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2. აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

გამოაკელით 5 4-ს -1-ის მისაღებად.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

გადაამრავლეთ 2-\sqrt{5} და 2-\sqrt{5}, რათა მიიღოთ \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

\sqrt{5}-ის კვადრატია 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

შეკრიბეთ 4 და 5, რათა მიიღოთ 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

ყველაფერი, რაც იყოფა -1-ზე, საპირისპირო პასუხს იძლევა. 9-4\sqrt{5}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

გამოაკელით 9 -9-ს -18-ის მისაღებად.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

დააჯგუფეთ -4\sqrt{5} და 4\sqrt{5}, რათა მიიღოთ 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

გამოაკელით a ორივე მხარეს.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

ორივე მხარე გაყავით 5-ზე.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

5-ზე გაყოფა აუქმებს 5-ზე გამრავლებას.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

ამოხსნა a-ისთვის

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$