გადაწყვიტეთ frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

შეფასება

$$8\sqrt{3}\approx 13.856406461$$

ამონახსნის ეტაპები

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2+\sqrt{3}-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

განვიხილოთ \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2. აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

გამოაკელით 3 4-ს 1-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

ყველაფერი რაც იყოფა ერთზე გვაძლევს თავის თავს.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

გადაამრავლეთ 2+\sqrt{3} და 2+\sqrt{3}, რათა მიიღოთ \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2-\sqrt{3}-ზე გამრავლებით.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

განვიხილოთ \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2. აიყვანეთ კვადრატში \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

გამოაკელით 3 4-ს 1-ის მისაღებად.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

ყველაფერი რაც იყოფა ერთზე გვაძლევს თავის თავს.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

გადაამრავლეთ 2-\sqrt{3} და 2-\sqrt{3}, რათა მიიღოთ \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

შეკრიბეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

\sqrt{3}-ის კვადრატია 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

შეკრიბეთ 4 და 3, რათა მიიღოთ 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

7-4\sqrt{3}-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

-4\sqrt{3}-ის საპირისპიროა 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

გამოაკელით 7 7-ს 0-ის მისაღებად.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

დააჯგუფეთ 4\sqrt{3} და 4\sqrt{3}, რათა მიიღოთ 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$