გადაწყვიტეთ x/x-1=3x+1/x-1

$$\frac { x } { x - 1 } = 3 x + \frac { 1 } { x - 1 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x-1-ზე.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x x-1-ზე.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

გამოაკელით 3x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

დააჯგუფეთ x და 3x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$4x-3x^{2}-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 4-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 16 -12-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 4-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±2}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-4±2}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 2-ს.

$$x=-\frac{2}{-6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{-6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2 -4-ს.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

გაყავით -6 -6-ზე.

$$x=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი.

$$x=\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x-1-ზე.

$$x=3x\left(x-1\right)+1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x x-1-ზე.

$$x=3x^{2}-3x+1$$

გამოაკელით 3x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-3x^{2}=-3x+1$$

დაამატეთ 3x ორივე მხარეს.

$$x-3x^{2}+3x=1$$

დააჯგუფეთ x და 3x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x-3x^{2}=1$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x=1$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

გაყავით 4 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{1}{-3}$$

გაყავით 1 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი.

$$x=\frac{1}{3}$$