გადაწყვიტეთ x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-3$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6x\left(x+1\right)-ზე, x+1,x,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 6x+6 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

დააჯგუფეთ 6x^{2} და 6x^{2}, რათა მიიღოთ 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 13x x+1-ზე.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

გამოაკელით 13x^{2} ორივე მხარეს.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

დააჯგუფეთ 12x^{2} და -13x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

გამოაკელით 13x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

დააჯგუფეთ 12x და -13x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+6. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -6.

$$1,-6 2,-3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=2 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-x+6, როგორც \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+2=0 და x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6x\left(x+1\right)-ზე, x+1,x,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 6x+6 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

დააჯგუფეთ 6x^{2} და 6x^{2}, რათა მიიღოთ 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 13x x+1-ზე.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

გამოაკელით 13x^{2} ორივე მხარეს.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

დააჯგუფეთ 12x^{2} და -13x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

გამოაკელით 13x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

დააჯგუფეთ 12x და -13x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -1-ით b და 6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 24-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±5}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 5-ს.

$$x=\frac{6}{-2}$$

გაყავით 6 -2-ზე.

$$x=-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±5}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 1-ს.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

გაყავით -4 -2-ზე.

$$x=2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3 x=2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 6x\left(x+1\right)-ზე, x+1,x,6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 6x+6 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

დააჯგუფეთ 6x^{2} და 6x^{2}, რათა მიიღოთ 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 13x x+1-ზე.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

გამოაკელით 13x^{2} ორივე მხარეს.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

დააჯგუფეთ 12x^{2} და -13x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

გამოაკელით 13x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

დააჯგუფეთ 12x და -13x, რათა მიიღოთ -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-x^{2}-x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

გაყავით -1 -1-ზე.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

გაყავით -6 -1-ზე.

$$x^{2}+x=6$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 6 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-3$$