გადაწყვიტეთ x/5+5/x=41/4

$$\frac { x } { 5 } + \frac { 5 } { x } = 4 \frac { 1 } { 4 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$x=20$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20x-ზე, 5,x,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4xx+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$4x^{2}+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ 20 და 5, რათა მიიღოთ 100.

$$4x^{2}+100=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ 4 და 4, რათა მიიღოთ 16.

$$4x^{2}+100=5x\left(16+1\right)$$

შეკრიბეთ 16 და 1, რათა მიიღოთ 17.

$$4x^{2}+100=5x\times 17$$

გადაამრავლეთ 5 და 17, რათა მიიღოთ 85.

$$4x^{2}+100=85x$$

გამოაკელით 85x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+100-85x=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$4x^{2}-85x+100=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 4x^{2}+ax+bx+100. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-85 ab=4\times 100=400$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -85.

$$a=-80 b=-5$$

ხელახლა დაწერეთ 4x^{2}-85x+100, როგორც \left(4x^{2}-80x\right)+\left(-5x+100\right).

$$\left(4x^{2}-80x\right)+\left(-5x+100\right)$$

4x-ის პირველ, -5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-20 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-20\right)\left(4x-5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-20=0 და 4x-5=0.

$$x=20 x=\frac{5}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20x-ზე, 5,x,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4xx+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$4x^{2}+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ 20 და 5, რათა მიიღოთ 100.

$$4x^{2}+100=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ 4 და 4, რათა მიიღოთ 16.

$$4x^{2}+100=5x\left(16+1\right)$$

შეკრიბეთ 16 და 1, რათა მიიღოთ 17.

$$4x^{2}+100=5x\times 17$$

გადაამრავლეთ 5 და 17, რათა მიიღოთ 85.

$$4x^{2}+100=85x$$

გამოაკელით 85x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+100-85x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$4x^{2}-85x+100=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 4-ით a, -85-ით b და 100-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{\left(-85\right)^{2}-4\times 4\times 100}}{2\times 4}$$

აიყვანეთ კვადრატში -85.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-4\times 4\times 100}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-16\times 100}}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ -16-ზე 100.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-1600}}{2\times 4}$$

მიუმატეთ 7225 -1600-ს.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{5625}}{2\times 4}$$

აიღეთ 5625-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±75}{2\times 4}$$

-85-ის საპირისპიროა 85.

$$x=\frac{85±75}{2\times 4}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 4.

$$x=\frac{85±75}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{85±75}{8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 85 75-ს.

$$x=\frac{160}{8}$$

გაყავით 160 8-ზე.

$$x=20$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{85±75}{8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 75 85-ს.

$$x=\frac{10}{8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=20 x=\frac{5}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 20x-ზე, 5,x,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4xx+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ x და x, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$4x^{2}+20\times 5=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ 20 და 5, რათა მიიღოთ 100.

$$4x^{2}+100=5x\left(4\times 4+1\right)$$

გადაამრავლეთ 4 და 4, რათა მიიღოთ 16.

$$4x^{2}+100=5x\left(16+1\right)$$

შეკრიბეთ 16 და 1, რათა მიიღოთ 17.

$$4x^{2}+100=5x\times 17$$

გადაამრავლეთ 5 და 17, რათა მიიღოთ 85.

$$4x^{2}+100=85x$$

გამოაკელით 85x ორივე მხარეს.

$$4x^{2}+100-85x=0$$

გამოაკელით 100 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x^{2}-85x=-100$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$\frac{4x^{2}-85x}{4}=-\frac{100}{4}$$

4-ზე გაყოფა აუქმებს 4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x=-\frac{100}{4}$$

გაყავით -100 4-ზე.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x=-25$$

გაყავით -\frac{85}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{85}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{85}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x+\left(-\frac{85}{8}\right)^{2}=-25+\left(-\frac{85}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{85}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x+\frac{7225}{64}=-25+\frac{7225}{64}$$

მიუმატეთ -25 \frac{7225}{64}-ს.

$$x^{2}-\frac{85}{4}x+\frac{7225}{64}=\frac{5625}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{85}{4}x+\frac{7225}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{85}{8}\right)^{2}=\frac{5625}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{85}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5625}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{85}{8}=\frac{75}{8} x-\frac{85}{8}=-\frac{75}{8}$$

მიუმატეთ \frac{85}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=20 x=\frac{5}{4}$$