გადაწყვიტეთ x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10.242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1.757359313$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

-2-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

გამოაკელით -2 0-ს.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ \frac{1}{9}-ით a, -\frac{4}{3}-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{4}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{9}-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

მიუმატეთ \frac{16}{9} -\frac{8}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

აიღეთ \frac{8}{9}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

-\frac{4}{3}-ის საპირისპიროა \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{4}{3} \frac{2\sqrt{2}}{3}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

გაყავით \frac{4+2\sqrt{2}}{3} \frac{2}{9}-ზე \frac{4+2\sqrt{2}}{3}-ის გამრავლებით \frac{2}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{2\sqrt{2}}{3} \frac{4}{3}-ს.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

გაყავით \frac{4-2\sqrt{2}}{3} \frac{2}{9}-ზე \frac{4-2\sqrt{2}}{3}-ის გამრავლებით \frac{2}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 9-ზე.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

\frac{1}{9}-ზე გაყოფა აუქმებს \frac{1}{9}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

გაყავით -\frac{4}{3} \frac{1}{9}-ზე -\frac{4}{3}-ის გამრავლებით \frac{1}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

გაყავით -2 \frac{1}{9}-ზე -2-ის გამრავლებით \frac{1}{9}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-12x=-18$$

გაყავით -12, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -6-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -6-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -6.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

მიუმატეთ -18 36-ს.

$$x^{2}-12x+36=18$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-12x+36. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

გაამარტივეთ.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$