გადაწყვიტეთ x^2+5/25-x^2=3/x+5+x/x-5

$$\frac { x ^ { 2 } + 5 } { 25 - x ^ { 2 } } = \frac { 3 } { x + 5 } + \frac { x } { x - 5 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -5,5 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-5\right)\left(x+5\right)-ზე, 25-x^{2},x+5,x-5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

x^{2}+5-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-5 3-ზე.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+5 x-ზე.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

დააჯგუფეთ 3x და 5x, რათა მიიღოთ 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

გამოაკელით -15 ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

შეკრიბეთ -5 და 15, რათა მიიღოთ 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$-x^{2}+5-4x=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+5. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=1 b=-5$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-4x+5, როგორც \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+1=0 და x+5=0.

$$x=1 x=-5$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -5-ის ტოლი.

$$x=1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -5,5 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-5\right)\left(x+5\right)-ზე, 25-x^{2},x+5,x-5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

x^{2}+5-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-5 3-ზე.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+5 x-ზე.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

დააჯგუფეთ 3x და 5x, რათა მიიღოთ 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

გამოაკელით -15 ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

შეკრიბეთ -5 და 15, რათა მიიღოთ 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}-8x+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, -8-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+8\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე 10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 64 80-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ 144-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\left(-2\right)}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±12}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{8±12}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±12}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 12-ს.

$$x=\frac{20}{-4}$$

გაყავით 20 -4-ზე.

$$x=-5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±12}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12 8-ს.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

გაყავით -4 -4-ზე.

$$x=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-5 x=1$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -5-ის ტოლი.

$$x=1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -5,5 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-5\right)\left(x+5\right)-ზე, 25-x^{2},x+5,x-5-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

x^{2}+5-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-5 3-ზე.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+5 x-ზე.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

დააჯგუფეთ 3x და 5x, რათა მიიღოთ 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

გამოაკელით 8x ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-5-8x-x^{2}=-15$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ -2x^{2}.

$$-2x^{2}-5-8x=-15$$

დაამატეთ 5 ორივე მხარეს.

$$-2x^{2}-8x=-15+5$$

შეკრიბეთ -15 და 5, რათა მიიღოთ -10.

$$-2x^{2}-8x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}-8x}{-2}=-\frac{10}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-2}\right)x=-\frac{10}{-2}$$

გაყავით -8 -2-ზე.

$$x^{2}+4x=-\frac{10}{-2}$$

გაყავით -10 -2-ზე.

$$x^{2}+4x=5$$

გაყავით 4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

მიუმატეთ 5 4-ს.

$$x^{2}+4x+4=9$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

გაამარტივეთ.

$$x+2=3 x+2=-3$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-5$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -5-ის ტოლი.

$$x=1$$