გადაწყვიტეთ x+1/x+2+x+6/x+7=x+2/x+3+x+5/x+6

$$\frac { x + 1 } { x + 2 } + \frac { x + 6 } { x + 7 } = \frac { x + 2 } { x + 3 } + \frac { x + 5 } { x + 6 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -7,-6,-3,-2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)-ზე, x+2,x+7,x+3,x+6-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+6\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+3 x+6-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{2}+9x+18\right)\left(x+7\right)\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+6\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+9x+18 x+7-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{3}+16x^{2}+81x+126\right)\left(x+1\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+6\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{3}+16x^{2}+81x+126 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{4}+17x^{3}+97x^{2}+207x+126+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+6\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გადაამრავლეთ x+6 და x+6, რათა მიიღოთ \left(x+6\right)^{2}.

$$x^{4}+17x^{3}+97x^{2}+207x+126+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)^{2}=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+6\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$x^{4}+17x^{3}+97x^{2}+207x+126+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x^{2}+12x+36\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x+3-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{4}+17x^{3}+97x^{2}+207x+126+\left(x^{2}+5x+6\right)\left(x^{2}+12x+36\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+5x+6 x^{2}+12x+36-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{4}+17x^{3}+97x^{2}+207x+126+x^{4}+17x^{3}+102x^{2}+252x+216=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

დააჯგუფეთ x^{4} და x^{4}, რათა მიიღოთ 2x^{4}.

$$2x^{4}+17x^{3}+97x^{2}+207x+126+17x^{3}+102x^{2}+252x+216=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

დააჯგუფეთ 17x^{3} და 17x^{3}, რათა მიიღოთ 34x^{3}.

$$2x^{4}+34x^{3}+97x^{2}+207x+126+102x^{2}+252x+216=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

დააჯგუფეთ 97x^{2} და 102x^{2}, რათა მიიღოთ 199x^{2}.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+207x+126+252x+216=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

დააჯგუფეთ 207x და 252x, რათა მიიღოთ 459x.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+126+216=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

შეკრიბეთ 126 და 216, რათა მიიღოთ 342.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გადაამრავლეთ x+2 და x+2, რათა მიიღოთ \left(x+2\right)^{2}.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=\left(x+2\right)^{2}\left(x+6\right)\left(x+7\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x+2\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=\left(x^{2}+4x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+4x+4 x+6-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=\left(x^{3}+10x^{2}+28x+24\right)\left(x+7\right)+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{3}+10x^{2}+28x+24 x+7-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=x^{4}+17x^{3}+98x^{2}+220x+168+\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x+3-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=x^{4}+17x^{3}+98x^{2}+220x+168+\left(x^{2}+5x+6\right)\left(x+7\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+5x+6 x+7-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=x^{4}+17x^{3}+98x^{2}+220x+168+\left(x^{3}+12x^{2}+41x+42\right)\left(x+5\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{3}+12x^{2}+41x+42 x+5-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=x^{4}+17x^{3}+98x^{2}+220x+168+x^{4}+17x^{3}+101x^{2}+247x+210$$

დააჯგუფეთ x^{4} და x^{4}, რათა მიიღოთ 2x^{4}.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=2x^{4}+17x^{3}+98x^{2}+220x+168+17x^{3}+101x^{2}+247x+210$$

დააჯგუფეთ 17x^{3} და 17x^{3}, რათა მიიღოთ 34x^{3}.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=2x^{4}+34x^{3}+98x^{2}+220x+168+101x^{2}+247x+210$$

დააჯგუფეთ 98x^{2} და 101x^{2}, რათა მიიღოთ 199x^{2}.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+220x+168+247x+210$$

დააჯგუფეთ 220x და 247x, რათა მიიღოთ 467x.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+467x+168+210$$

შეკრიბეთ 168 და 210, რათა მიიღოთ 378.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342=2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+467x+378$$

გამოაკელით 2x^{4} ორივე მხარეს.

$$2x^{4}+34x^{3}+199x^{2}+459x+342-2x^{4}=34x^{3}+199x^{2}+467x+378$$

დააჯგუფეთ 2x^{4} და -2x^{4}, რათა მიიღოთ 0.

$$34x^{3}+199x^{2}+459x+342=34x^{3}+199x^{2}+467x+378$$

გამოაკელით 34x^{3} ორივე მხარეს.

$$34x^{3}+199x^{2}+459x+342-34x^{3}=199x^{2}+467x+378$$

დააჯგუფეთ 34x^{3} და -34x^{3}, რათა მიიღოთ 0.

$$199x^{2}+459x+342=199x^{2}+467x+378$$

გამოაკელით 199x^{2} ორივე მხარეს.

$$199x^{2}+459x+342-199x^{2}=467x+378$$

დააჯგუფეთ 199x^{2} და -199x^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$459x+342=467x+378$$

გამოაკელით 467x ორივე მხარეს.

$$459x+342-467x=378$$

დააჯგუფეთ 459x და -467x, რათა მიიღოთ -8x.

$$-8x+342=378$$

გამოაკელით 342 ორივე მხარეს.

$$-8x=378-342$$

გამოაკელით 342 378-ს 36-ის მისაღებად.

$$-8x=36$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე.

$$x=\frac{36}{-8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{36}{-8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{9}{2}$$