გადაწყვიტეთ p+5/p^2+p=1/p^2+p-p-6/p+1

$$\frac { p + 5 } { p ^ { 2 } + p } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } + p } - \frac { p - 6 } { p + 1 }$$

ამოხსნა p-ისთვის

$$p=1$$

$$p=4$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

ცვლადი p არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე p\left(p+1\right)-ზე, p^{2}+p,p+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ p p-6-ზე.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

გამოაკელით 1 5-ს 4-ის მისაღებად.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

დაამატეთ p^{2} ორივე მხარეს.

$$p+4+p^{2}=6p$$

გამოაკელით 6p ორივე მხარეს.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

დააჯგუფეთ p და -6p, რათა მიიღოთ -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$p^{2}-5p+4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ p^{2}-5p+4 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=4$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-4 b=-1$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(p+a\right)\left(p+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით p-4=0 და p-1=0.

$$p=4 p=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი p არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე p\left(p+1\right)-ზე, p^{2}+p,p+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ p p-6-ზე.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

გამოაკელით 1 5-ს 4-ის მისაღებად.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

დაამატეთ p^{2} ორივე მხარეს.

$$p+4+p^{2}=6p$$

გამოაკელით 6p ორივე მხარეს.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

დააჯგუფეთ p და -6p, რათა მიიღოთ -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$p^{2}-5p+4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც p^{2}+ap+bp+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-4 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ p^{2}-5p+4, როგორც \left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right).

$$\left(p^{2}-4p\right)+\left(-p+4\right)$$

p-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$p\left(p-4\right)-\left(p-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი p-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(p-4\right)\left(p-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით p-4=0 და p-1=0.

$$p=4 p=1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი p არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე p\left(p+1\right)-ზე, p^{2}+p,p+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ p p-6-ზე.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$p+5-1=-p^{2}+6p$$

გამოაკელით 1 5-ს 4-ის მისაღებად.

$$p+4=-p^{2}+6p$$

დაამატეთ p^{2} ორივე მხარეს.

$$p+4+p^{2}=6p$$

გამოაკელით 6p ორივე მხარეს.

$$p+4+p^{2}-6p=0$$

დააჯგუფეთ p და -6p, რათა მიიღოთ -5p.

$$-5p+4+p^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$p^{2}-5p+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -5-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 4.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2}$$

მიუმატეთ 25 -16-ს.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$p=\frac{-\left(-5\right)±3}{2}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$p=\frac{5±3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება p=\frac{5±3}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 3-ს.

$$p=\frac{8}{2}$$

გაყავით 8 2-ზე.

$$p=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება p=\frac{5±3}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 5-ს.

$$p=\frac{2}{2}$$

გაყავით 2 2-ზე.

$$p=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$p=4 p=1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი p არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე p\left(p+1\right)-ზე, p^{2}+p,p+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$p+5=1-p\left(p-6\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ p p-6-ზე.

$$p+5=1-\left(p^{2}-6p\right)$$

p^{2}-6p-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$p+5=1-p^{2}+6p$$

დაამატეთ p^{2} ორივე მხარეს.

$$p+5+p^{2}=1+6p$$

გამოაკელით 6p ორივე მხარეს.

$$p+5+p^{2}-6p=1$$

დააჯგუფეთ p და -6p, რათა მიიღოთ -5p.

$$-5p+5+p^{2}=1$$

გამოაკელით 5 ორივე მხარეს.

$$-5p+p^{2}=1-5$$

გამოაკელით 5 1-ს -4-ის მისაღებად.

$$-5p+p^{2}=-4$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$p^{2}-5p=-4$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$p^{2}-5p+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ -4 \frac{25}{4}-ს.

$$p^{2}-5p+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად p^{2}-5p+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(p-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$p-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=4 p=1$$