გადაწყვიტეთ f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

ამოხსნა f, g-ისთვის

$$f=10$$

$$g=30$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 33-ზე, 11,33-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3f=g$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$f=\frac{1}{3}g$$

ჩაანაცვლეთ \frac{g}{3}-ით f მეორე განტოლებაში, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

მიუმატეთ \frac{g}{3} g-ს.

$$\frac{4}{3}g=40$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{4}{3}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$g=30$$

ჩაანაცვლეთ 30-ით g აქ: f=\frac{1}{3}g. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ f.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე 30.

$$f=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$f=10,g=30$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 33-ზე, 11,33-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3f=g$$

გამოაკელით g ორივე მხარეს.

$$3f-g=0$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3f-g=0,f+g=40$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - f და g.

$$f=10,g=30$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 33-ზე, 11,33-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$3f=g$$

გამოაკელით g ორივე მხარეს.

$$3f-g=0$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3f-g=0,f+g=40$$

იმისათვის, რომ 3f და f ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 1-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

გაამარტივეთ.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

გამოაკელით 3f+3g=120 3f-g=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

მიუმატეთ 3f -3f-ს. პირობები 3f და -3f გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-g-3g=-120$$

მიუმატეთ -g -3g-ს.

$$-4g=-120$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$g=30$$

ჩაანაცვლეთ 30-ით g აქ: f+g=40. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ f.

$$f+30=40$$

გამოაკელით 30 განტოლების ორივე მხარეს.

$$f=10$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$f=10,g=30$$