გადაწყვიტეთ 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-75$$

$$x=60$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -15,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4x\left(x+15\right)-ზე, x,x+15,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4x+60 75-ზე.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და 75, რათა მიიღოთ 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+15-ზე.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

დააჯგუფეთ 300x და 15x, რათა მიიღოთ 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

გამოაკელით 315x ორივე მხარეს.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

დააჯგუფეთ 300x და -315x, რათა მიიღოთ -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+4500. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -15.

$$a=60 b=-75$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-15x+4500, როგორც \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

x-ის პირველ, 75-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+60 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+60=0 და x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -15,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4x\left(x+15\right)-ზე, x,x+15,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4x+60 75-ზე.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და 75, რათა მიიღოთ 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+15-ზე.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

დააჯგუფეთ 300x და 15x, რათა მიიღოთ 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

გამოაკელით 315x ორივე მხარეს.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

დააჯგუფეთ 300x და -315x, რათა მიიღოთ -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -15-ით b და 4500-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 225 18000-ს.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 18225-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±135}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 15 135-ს.

$$x=\frac{150}{-2}$$

გაყავით 150 -2-ზე.

$$x=-75$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±135}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 135 15-ს.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

გაყავით -120 -2-ზე.

$$x=60$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-75 x=60$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -15,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4x\left(x+15\right)-ზე, x,x+15,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4x+60 75-ზე.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და 75, რათა მიიღოთ 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+15-ზე.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

დააჯგუფეთ 300x და 15x, რათა მიიღოთ 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

გამოაკელით 315x ორივე მხარეს.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

დააჯგუფეთ 300x და -315x, რათა მიიღოთ -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

გამოაკელით 4500 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

გაყავით -15 -1-ზე.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

გაყავით -4500 -1-ზე.

$$x^{2}+15x=4500$$

გაყავით 15, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{15}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{15}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{15}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

მიუმატეთ 4500 \frac{225}{4}-ს.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+15x+\frac{225}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=60 x=-75$$