გადაწყვიტეთ 7.5/x=7.5/x+15+1/4

$$\frac { 7.5 } { x } = \frac { 7.5 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-30$$

$$x=15$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -15,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4x\left(x+15\right)-ზე, x,x+15,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4x+60 7.5-ზე.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და 7.5, რათა მიიღოთ 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+15-ზე.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

დააჯგუფეთ 30x და 15x, რათა მიიღოთ 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

გამოაკელით 45x ორივე მხარეს.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

დააჯგუფეთ 30x და -45x, რათა მიიღოთ -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}-15x+450=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+450. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-15 ab=-450=-450$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -450.

$$1,-450 2,-225 3,-150 5,-90 6,-75 9,-50 10,-45 15,-30 18,-25$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-450=-449 2-225=-223 3-150=-147 5-90=-85 6-75=-69 9-50=-41 10-45=-35 15-30=-15 18-25=-7$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -15.

$$a=15 b=-30$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-15x+450, როგორც \left(-x^{2}+15x\right)+\left(-30x+450\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(-30x+450\right)$$

x-ის პირველ, 30-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+15\right)+30\left(-x+15\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+15 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+15\right)\left(x+30\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+15=0 და x+30=0.

$$x=15 x=-30$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -15,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4x\left(x+15\right)-ზე, x,x+15,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4x+60 7.5-ზე.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და 7.5, რათა მიიღოთ 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+15-ზე.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

დააჯგუფეთ 30x და 15x, რათა მიიღოთ 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

გამოაკელით 45x ორივე მხარეს.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

დააჯგუფეთ 30x და -45x, რათა მიიღოთ -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}-15x+450=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -15-ით b და 450-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 450}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 450.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+1800}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 225 1800-ს.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{2025}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 2025-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±45}{2\left(-1\right)}$$

-15-ის საპირისპიროა 15.

$$x=\frac{15±45}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{15±45}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±45}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 15 45-ს.

$$x=\frac{60}{-2}$$

გაყავით 60 -2-ზე.

$$x=-30$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{15±45}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 45 15-ს.

$$x=-\frac{30}{-2}$$

გაყავით -30 -2-ზე.

$$x=15$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-30 x=15$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -15,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 4x\left(x+15\right)-ზე, x,x+15,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(4x+60\right)\times 7.5=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 4x+60 7.5-ზე.

$$30x+450=4x\times 7.5+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და 7.5, რათა მიიღოთ 30.

$$30x+450=30x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

გადაამრავლეთ 4 და \frac{1}{4}, რათა მიიღოთ 1.

$$30x+450=30x+x\left(x+15\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x x+15-ზე.

$$30x+450=30x+x^{2}+15x$$

დააჯგუფეთ 30x და 15x, რათა მიიღოთ 45x.

$$30x+450=45x+x^{2}$$

გამოაკელით 45x ორივე მხარეს.

$$30x+450-45x=x^{2}$$

დააჯგუფეთ 30x და -45x, რათა მიიღოთ -15x.

$$-15x+450=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$-15x+450-x^{2}=0$$

გამოაკელით 450 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-15x-x^{2}=-450$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-450$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{450}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{450}{-1}$$

გაყავით -15 -1-ზე.

$$x^{2}+15x=-\frac{450}{-1}$$

გაყავით -450 -1-ზე.

$$x^{2}+15x=450$$

გაყავით 15, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{15}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{15}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=450+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{15}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=450+\frac{225}{4}$$

მიუმატეთ 450 \frac{225}{4}-ს.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{2025}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+15x+\frac{225}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{45}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{45}{2}$$

გამოაკელით \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=15 x=-30$$