გადაწყვიტეთ 57/16t^2-85/16t=-250

$$\frac { 57 } { 16 } t ^ { 2 } - \frac { 85 } { 16 } t = - 250$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}\approx 0.745614035+8.343829954i$$

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}\approx 0.745614035-8.343829954i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

მიუმატეთ 250 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=-250-\left(-250\right)$$

-250-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t-\left(-250\right)=0$$

გამოაკელით -250 0-ს.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t+250=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ \frac{57}{16}-ით a, -\frac{85}{16}-ით b და 250-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\left(-\frac{85}{16}\right)^{2}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{85}{16} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-4\times \frac{57}{16}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{57}{16}.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{57}{4}\times 250}}{2\times \frac{57}{16}}$$

გაამრავლეთ -\frac{57}{4}-ზე 250.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{\frac{7225}{256}-\frac{7125}{2}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

მიუმატეთ \frac{7225}{256} -\frac{7125}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\sqrt{-\frac{904775}{256}}}{2\times \frac{57}{16}}$$

აიღეთ -\frac{904775}{256}-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-\left(-\frac{85}{16}\right)±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

-\frac{85}{16}-ის საპირისპიროა \frac{85}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{2\times \frac{57}{16}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{57}{16}.

$$t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{85}{16} \frac{5i\sqrt{36191}}{16}-ს.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{\frac{57}{8}\times 16}$$

გაყავით \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16} \frac{57}{8}-ზე \frac{85+5i\sqrt{36191}}{16}-ის გამრავლებით \frac{57}{8}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{\frac{85}{16}±\frac{5\sqrt{36191}i}{16}}{\frac{57}{8}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{5i\sqrt{36191}}{16} \frac{85}{16}-ს.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{\frac{57}{8}\times 16}$$

გაყავით \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16} \frac{57}{8}-ზე \frac{85-5i\sqrt{36191}}{16}-ის გამრავლებით \frac{57}{8}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t=-250$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{57}{16}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$\frac{\frac{57}{16}t^{2}-\frac{85}{16}t}{\frac{57}{16}}=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

\frac{57}{16}-ზე გაყოფა აუქმებს \frac{57}{16}-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}+\left(-\frac{\frac{85}{16}}{\frac{57}{16}}\right)t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

გაყავით -\frac{85}{16} \frac{57}{16}-ზე -\frac{85}{16}-ის გამრავლებით \frac{57}{16}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{250}{\frac{57}{16}}$$

გაყავით -250 \frac{57}{16}-ზე -250-ის გამრავლებით \frac{57}{16}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t=-\frac{4000}{57}$$

გაყავით -\frac{85}{57}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{85}{114}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{85}{114}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{4000}{57}+\left(-\frac{85}{114}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{85}{114} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{4000}{57}+\frac{7225}{12996}$$

მიუმატეთ -\frac{4000}{57} \frac{7225}{12996}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}=-\frac{904775}{12996}$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}-\frac{85}{57}t+\frac{7225}{12996}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}=-\frac{904775}{12996}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t-\frac{85}{114}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{904775}{12996}}$$

გაამარტივეთ.

$$t-\frac{85}{114}=\frac{5\sqrt{36191}i}{114} t-\frac{85}{114}=-\frac{5\sqrt{36191}i}{114}$$

მიუმატეთ \frac{85}{114} განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=\frac{85+5\sqrt{36191}i}{114} t=\frac{-5\sqrt{36191}i+85}{114}$$