გადაწყვიტეთ 50/49x^2-11/49x-24/49=0

$$\frac { 50 } { 49 } x ^ { 2 } - \frac { 11 } { 49 } x - \frac { 24 } { 49 } = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100}\approx 0.811498396$$

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}\approx -0.591498396$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ \frac{50}{49}-ით a, -\frac{11}{49}-ით b და -\frac{24}{49}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\left(-\frac{11}{49}\right)^{2}-4\times \frac{50}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{49} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121}{2401}-4\times \frac{50}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{50}{49}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121}{2401}-\frac{200}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

გაამრავლეთ -\frac{200}{49}-ზე -\frac{24}{49} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121+4800}{2401}}}{2\times \frac{50}{49}}$$

მიუმატეთ \frac{121}{2401} \frac{4800}{2401}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{703}{343}}}{2\times \frac{50}{49}}$$

აიღეთ \frac{703}{343}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{2\times \frac{50}{49}}$$

-\frac{11}{49}-ის საპირისპიროა \frac{11}{49}.

$$x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{2\times \frac{50}{49}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{50}{49}.

$$x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{11}{49} \frac{\sqrt{4921}}{49}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{\frac{100}{49}\times 49}$$

გაყავით \frac{11+\sqrt{4921}}{49} \frac{100}{49}-ზე \frac{11+\sqrt{4921}}{49}-ის გამრავლებით \frac{100}{49}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{\sqrt{4921}}{49} \frac{11}{49}-ს.

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{\frac{100}{49}\times 49}$$

გაყავით \frac{11-\sqrt{4921}}{49} \frac{100}{49}-ზე \frac{11-\sqrt{4921}}{49}-ის გამრავლებით \frac{100}{49}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100} x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}=0$$

მიუმატეთ \frac{24}{49} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}-\left(-\frac{24}{49}\right)=-\left(-\frac{24}{49}\right)$$

-\frac{24}{49}-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x=-\left(-\frac{24}{49}\right)$$

გამოაკელით -\frac{24}{49} 0-ს.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x=\frac{24}{49}$$

განტოლების ორივე მხარე გაყავით \frac{50}{49}-ზე, რაც იგივეა, რაც ორივე მხარის გამრავლება წილადის შექცეულ სიდიდეზე.

$$\frac{\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x}{\frac{50}{49}}=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

\frac{50}{49}-ზე გაყოფა აუქმებს \frac{50}{49}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{11}{49}}{\frac{50}{49}}\right)x=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

გაყავით -\frac{11}{49} \frac{50}{49}-ზე -\frac{11}{49}-ის გამრავლებით \frac{50}{49}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

გაყავით \frac{24}{49} \frac{50}{49}-ზე \frac{24}{49}-ის გამრავლებით \frac{50}{49}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x=\frac{12}{25}$$

გაყავით -\frac{11}{50}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{100}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{100}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\left(-\frac{11}{100}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(-\frac{11}{100}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{100} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000}=\frac{12}{25}+\frac{121}{10000}$$

მიუმატეთ \frac{12}{25} \frac{121}{10000}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000}=\frac{4921}{10000}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{100}\right)^{2}=\frac{4921}{10000}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{100}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4921}{10000}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{100}=\frac{\sqrt{4921}}{100} x-\frac{11}{100}=-\frac{\sqrt{4921}}{100}$$

მიუმატეთ \frac{11}{100} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100} x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$