გადაწყვიტეთ 5x+9/8x-1-5x+1/3x-1=1

$$\frac { 5 x + 9 } { 8 x - 1 } - \frac { 5 x + 1 } { 3 x - 1 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}\approx 0.306122449-0.29993752i$$

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}\approx 0.306122449+0.29993752i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან \frac{1}{8},\frac{1}{3} არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(3x-1\right)\left(8x-1\right)-ზე, 8x-1,3x-1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x-1 5x+9-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 8x-1 5x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

40x^{2}+3x-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 15x^{2} და -40x^{2}, რათა მიიღოთ -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 22x და -3x, რათა მიიღოთ 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

შეკრიბეთ -9 და 1, რათა მიიღოთ -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x-1 8x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

გამოაკელით 24x^{2} ორივე მხარეს.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

დააჯგუფეთ -25x^{2} და -24x^{2}, რათა მიიღოთ -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

დაამატეთ 11x ორივე მხარეს.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

დააჯგუფეთ 19x და 11x, რათა მიიღოთ 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$-49x^{2}+30x-8-1=0$$

გამოაკელით 1 -8-ს -9-ის მისაღებად.

$$-49x^{2}+30x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -49-ით a, 30-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-49\right)\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+196\left(-9\right)}}{2\left(-49\right)}$$

გაამრავლეთ 196-ზე -9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-1764}}{2\left(-49\right)}$$

მიუმატეთ 900 -1764-ს.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-864}}{2\left(-49\right)}$$

აიღეთ -864-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{2\left(-49\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -49.

$$x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -30 12i\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{-30+12\sqrt{6}i}{-98}$$

გაყავით -30+12i\sqrt{6} -98-ზე.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±12\sqrt{6}i}{-98} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12i\sqrt{6} -30-ს.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i-30}{-98}$$

გაყავით -30-12i\sqrt{6} -98-ზე.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49} x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან \frac{1}{8},\frac{1}{3} არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(3x-1\right)\left(8x-1\right)-ზე, 8x-1,3x-1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+9\right)-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x-1 5x+9-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$15x^{2}+22x-9-\left(8x-1\right)\left(5x+1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 8x-1 5x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$15x^{2}+22x-9-\left(40x^{2}+3x-1\right)=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

40x^{2}+3x-1-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$15x^{2}+22x-9-40x^{2}-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 15x^{2} და -40x^{2}, რათა მიიღოთ -25x^{2}.

$$-25x^{2}+22x-9-3x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

დააჯგუფეთ 22x და -3x, რათა მიიღოთ 19x.

$$-25x^{2}+19x-9+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

შეკრიბეთ -9 და 1, რათა მიიღოთ -8.

$$-25x^{2}+19x-8=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x-1 8x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-25x^{2}+19x-8=24x^{2}-11x+1$$

გამოაკელით 24x^{2} ორივე მხარეს.

$$-25x^{2}+19x-8-24x^{2}=-11x+1$$

დააჯგუფეთ -25x^{2} და -24x^{2}, რათა მიიღოთ -49x^{2}.

$$-49x^{2}+19x-8=-11x+1$$

დაამატეთ 11x ორივე მხარეს.

$$-49x^{2}+19x-8+11x=1$$

დააჯგუფეთ 19x და 11x, რათა მიიღოთ 30x.

$$-49x^{2}+30x-8=1$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს.

$$-49x^{2}+30x=1+8$$

შეკრიბეთ 1 და 8, რათა მიიღოთ 9.

$$-49x^{2}+30x=9$$

ორივე მხარე გაყავით -49-ზე.

$$\frac{-49x^{2}+30x}{-49}=\frac{9}{-49}$$

-49-ზე გაყოფა აუქმებს -49-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{30}{-49}x=\frac{9}{-49}$$

გაყავით 30 -49-ზე.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=\frac{9}{-49}$$

გაყავით 9 -49-ზე.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x=-\frac{9}{49}$$

გაყავით -\frac{30}{49}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{15}{49}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{15}{49}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{9}{49}+\left(-\frac{15}{49}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{15}{49} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{9}{49}+\frac{225}{2401}$$

მიუმატეთ -\frac{9}{49} \frac{225}{2401}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{216}{2401}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{216}{2401}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{216}{2401}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{15}{49}=\frac{6\sqrt{6}i}{49} x-\frac{15}{49}=-\frac{6\sqrt{6}i}{49}$$

მიუმატეთ \frac{15}{49} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{15+6\sqrt{6}i}{49} x=\frac{-6\sqrt{6}i+15}{49}$$