გადაწყვიტეთ 4/x^2-55/x=14

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } } - \frac { 55 } { x } = 14$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{14}\approx 0.071428571$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x^{2}-ზე, x^{2},x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

გამოაკელით 14x^{2} ორივე მხარეს.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

გადაამრავლეთ -1 და 55, რათა მიიღოთ -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -14x^{2}+ax+bx+4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-55 ab=-14\times 4=-56$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -55.

$$a=1 b=-56$$

ხელახლა დაწერეთ -14x^{2}-55x+4, როგორც \left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right)$$

-x-ის პირველ, -4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(14x-1\right)-4\left(14x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 14x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(14x-1\right)\left(-x-4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 14x-1=0 და -x-4=0.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x^{2}-ზე, x^{2},x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

გამოაკელით 14x^{2} ორივე მხარეს.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

გადაამრავლეთ -1 და 55, რათა მიიღოთ -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -14-ით a, -55-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -55.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -14.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

გაამრავლეთ 56-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+224}}{2\left(-14\right)}$$

მიუმატეთ 3025 224-ს.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3249}}{2\left(-14\right)}$$

აიღეთ 3249-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±57}{2\left(-14\right)}$$

-55-ის საპირისპიროა 55.

$$x=\frac{55±57}{2\left(-14\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -14.

$$x=\frac{55±57}{-28}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{55±57}{-28} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 55 57-ს.

$$x=\frac{112}{-28}$$

გაყავით 112 -28-ზე.

$$x=-4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{55±57}{-28} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 57 55-ს.

$$x=-\frac{2}{-28}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{-28} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{14}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4 x=\frac{1}{14}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x^{2}-ზე, x^{2},x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

გამოაკელით 14x^{2} ორივე მხარეს.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-x\times 55-14x^{2}=-4$$

გადაამრავლეთ -1 და 55, რათა მიიღოთ -55.

$$-55x-14x^{2}=-4$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}-55x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით -14-ზე.

$$\frac{-14x^{2}-55x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

-14-ზე გაყოფა აუქმებს -14-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-14}\right)x=-\frac{4}{-14}$$

გაყავით -55 -14-ზე.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-4}{-14} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=\frac{2}{7}$$

გაყავით \frac{55}{14}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{55}{28}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{55}{28}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{55}{28} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{2}{7}+\frac{3025}{784}$$

მიუმატეთ \frac{2}{7} \frac{3025}{784}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{3249}{784}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{3249}{784}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3249}{784}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{55}{28}=\frac{57}{28} x+\frac{55}{28}=-\frac{57}{28}$$

გამოაკელით \frac{55}{28} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$