გადაწყვიტეთ frac{31sqrt{2}+31sqrt{5}}{2sqrt{10}-3}-frac{62sqrt{2}}{3-2sqrt{10}}

$$\frac { 31 \sqrt { 2 } + 31 \sqrt { 5 } } { 2 \sqrt { 10 } - 3 } - \frac { 62 \sqrt { 2 } } { 3 - 2 \sqrt { 10 } }$$

შეფასება

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}\approx 60.411077348$$

ამონახსნის ეტაპები

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{31\sqrt{2}+31\sqrt{5}}{2\sqrt{10}-3} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2\sqrt{10}+3-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

განვიხილოთ \left(2\sqrt{10}-3\right)\left(2\sqrt{10}+3\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{\left(2\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{10}\right)^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{2^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\left(\sqrt{10}\right)^{2}-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

\sqrt{10}-ის კვადრატია 10.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{4\times 10-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

გადაამრავლეთ 4 და 10, რათა მიიღოთ 40.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-3^{2}}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

გამოთვალეთ2-ის 3 ხარისხი და მიიღეთ 9.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{40-9}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

გამოაკელით 9 40-ს 31-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}}$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{62\sqrt{2}}{3-2\sqrt{10}} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 3+2\sqrt{10}-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{\left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right)}$$

განვიხილოთ \left(3-2\sqrt{10}\right)\left(3+2\sqrt{10}\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{3^{2}-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

გამოთვალეთ2-ის 3 ხარისხი და მიიღეთ 9.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\sqrt{10}\right)^{2}}$$

დაშალეთ \left(-2\sqrt{10}\right)^{2}.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

გამოთვალეთ2-ის -2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\left(\sqrt{10}\right)^{2}}$$

\sqrt{10}-ის კვადრატია 10.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-4\times 10}$$

გადაამრავლეთ 4 და 10, რათა მიიღოთ 40.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{9-40}$$

გამოაკელით 40 9-ს -31-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\frac{62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)}{-31}$$

გაყავით 62\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right) -31-ზე -2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}-\left(-2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)\right)$$

-2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)-ის საპირისპიროა 2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right).

$$\frac{\left(31\sqrt{2}+31\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{10}+3\right)}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ 31\sqrt{2}+31\sqrt{5}-ის თითოეული წევრი 2\sqrt{10}+3-ის თითოეულ წევრზე.

$$\frac{62\sqrt{10}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

კოეფიციენტი 10=2\times 5. გადაწერეთ ნამრავლის კვადრატული ფესვი \sqrt{2\times 5} კვადრატული ფესვების ნამრავლის \sqrt{2}\sqrt{5} სახით.

$$\frac{62\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

გადაამრავლეთ \sqrt{2} და \sqrt{2}, რათა მიიღოთ 2.

$$\frac{62\times 2\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

გადაამრავლეთ 62 და 2, რათა მიიღოთ 124.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{10}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

კოეფიციენტი 10=5\times 2. გადაწერეთ ნამრავლის კვადრატული ფესვი \sqrt{5\times 2} კვადრატული ფესვების ნამრავლის \sqrt{5}\sqrt{2} სახით.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

გადაამრავლეთ \sqrt{5} და \sqrt{5}, რათა მიიღოთ 5.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+62\times 5\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

გადაამრავლეთ 62 და 5, რათა მიიღოთ 310.

$$\frac{124\sqrt{5}+93\sqrt{2}+310\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

დააჯგუფეთ 93\sqrt{2} და 310\sqrt{2}, რათა მიიღოთ 403\sqrt{2}.

$$\frac{124\sqrt{5}+403\sqrt{2}+93\sqrt{5}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

დააჯგუფეთ 124\sqrt{5} და 93\sqrt{5}, რათა მიიღოთ 217\sqrt{5}.

$$\frac{217\sqrt{5}+403\sqrt{2}}{31}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

გაყავით 217\sqrt{5}+403\sqrt{2}-ის წევრი 31-ზე 7\sqrt{5}+13\sqrt{2}-ის მისაღებად.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+2\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{10}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2\sqrt{2} 3+2\sqrt{10}-ზე.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{10}\sqrt{2}$$

კოეფიციენტი 10=2\times 5. გადაწერეთ ნამრავლის კვადრატული ფესვი \sqrt{2\times 5} კვადრატული ფესვების ნამრავლის \sqrt{2}\sqrt{5} სახით.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{2}$$

გადაამრავლეთ \sqrt{2} და \sqrt{2}, რათა მიიღოთ 2.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}$$

გადაამრავლეთ 4 და 2, რათა მიიღოთ 8.

$$7\sqrt{5}+13\sqrt{2}+6\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

დააჯგუფეთ 13\sqrt{2} და 6\sqrt{2}, რათა მიიღოთ 19\sqrt{2}.

$$7\sqrt{5}+19\sqrt{2}+8\sqrt{5}$$

დააჯგუფეთ 7\sqrt{5} და 8\sqrt{5}, რათა მიიღოთ 15\sqrt{5}.

$$15\sqrt{5}+19\sqrt{2}$$

მამრავლი

$$15 \sqrt{5} + 19 \sqrt{2} = 60.411077348$$