გადაწყვიტეთ 3x+2/9-x^2=5x+1/x+3-1/3-x

$$\frac { 3 x + 2 } { 9 - x ^ { 2 } } = \frac { 5 x + 1 } { x + 3 } - \frac { 1 } { 3 - x }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 1.774596669$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1\approx 0.225403331$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -3,3 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-3\right)\left(x+3\right)-ზე, 9-x^{2},x+3,3-x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

3x+2-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-3 5x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

შეკრიბეთ -3 და 3, რათა მიიღოთ 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

დააჯგუფეთ -14x და x, რათა მიიღოთ -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

გამოაკელით 5x^{2} ორივე მხარეს.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

დაამატეთ 13x ორივე მხარეს.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

დააჯგუფეთ -3x და 13x, რათა მიიღოთ 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-5x^{2}+10x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -5-ით a, 10-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-5\right)\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+20\left(-2\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 20-ზე -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-40}}{2\left(-5\right)}$$

მიუმატეთ 100 -40-ს.

$$x=\frac{-10±\sqrt{60}}{2\left(-5\right)}$$

აიღეთ 60-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -5.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 2\sqrt{15}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{15}-10}{-10}$$

გაყავით -10+2\sqrt{15} -10-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-10±2\sqrt{15}}{-10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{15} -10-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}-10}{-10}$$

გაყავით -10-2\sqrt{15} -10-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -3,3 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-3\right)\left(x+3\right)-ზე, 9-x^{2},x+3,3-x-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$-\left(3x+2\right)=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

3x+2-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$-3x-2=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)+3+x$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-3 5x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$-3x-2=5x^{2}-14x-3+3+x$$

შეკრიბეთ -3 და 3, რათა მიიღოთ 0.

$$-3x-2=5x^{2}-14x+x$$

დააჯგუფეთ -14x და x, რათა მიიღოთ -13x.

$$-3x-2=5x^{2}-13x$$

გამოაკელით 5x^{2} ორივე მხარეს.

$$-3x-2-5x^{2}=-13x$$

დაამატეთ 13x ორივე მხარეს.

$$-3x-2-5x^{2}+13x=0$$

დააჯგუფეთ -3x და 13x, რათა მიიღოთ 10x.

$$10x-2-5x^{2}=0$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს. თუ რიცხვს მივუმატებთ ნულს, მივიღებთ იმავე რიცხვს.

$$10x-5x^{2}=2$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+10x=2$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$\frac{-5x^{2}+10x}{-5}=\frac{2}{-5}$$

-5-ზე გაყოფა აუქმებს -5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{10}{-5}x=\frac{2}{-5}$$

გაყავით 10 -5-ზე.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-5}$$

გაყავით 2 -5-ზე.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{5}$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{5}+1$$

მიუმატეთ -\frac{2}{5} 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=\frac{3}{5}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{3}{5}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{5}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=\frac{\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{\sqrt{15}}{5}$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{\sqrt{15}}{5}+1$$