გადაწყვიტეთ 3x+10/x-2[9x-4/3-3(x/2+7x-6/4)]=frac{7x+5}{2}

$$\frac { 3 x + 10 } { x } - 2 [ \frac { 9 x - 4 } { 3 } - 3 ( \frac { x } { 2 } + \frac { 7 x - 6 } { 4 } ) ] = \frac { 7 x + 5 } { 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}\approx 0.729166667+1.402966846i$$

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}\approx 0.729166667-1.402966846i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12x-ზე, x,3,2,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 12 3x+10-ზე.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. 2-ისა და 4-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 4. გაამრავლეთ \frac{x}{2}-ზე \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

რადგან \frac{2x}{4}-სა და \frac{7x-6}{4}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

მსგავსი წევრების გაერთიანება 2x+7x-6-ში.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოხატეთ 3\times \frac{9x-6}{4} ერთიანი წილადის სახით.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 9x-6-ზე.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. 3-ისა და 4-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 12. გაამრავლეთ \frac{9x-4}{3}-ზე \frac{4}{4}. გაამრავლეთ \frac{27x-18}{4}-ზე \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

რადგან \frac{4\left(9x-4\right)}{12}-სა და \frac{3\left(27x-18\right)}{12}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, გამოაკელით მათი მრიცხველები.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

შეასრულეთ გამრავლება 4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)-ში.

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

მსგავსი წევრების გაერთიანება 36x-16-81x+54-ში.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გადაამრავლეთ 2 და 12, რათა მიიღოთ 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

შეკვეცეთ უდიდეს საერთო გამყოფზე 12 24 და 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 6x 7x+5-ზე.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

გამოაკელით 42x^{2} ორივე მხარეს.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

გამოაკელით 30x ორივე მხარეს.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 -45x+38-ზე.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 90x-76 x-ზე.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

დააჯგუფეთ 36x და -76x, რათა მიიღოთ -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

დააჯგუფეთ 90x^{2} და -42x^{2}, რათა მიიღოთ 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

დააჯგუფეთ -40x და -30x, რათა მიიღოთ -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$48x^{2}-70x+120=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 48-ით a, -70-ით b და 120-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

აიყვანეთ კვადრატში -70.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 48\times 120}}{2\times 48}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 48.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-192\times 120}}{2\times 48}$$

გაამრავლეთ -192-ზე 120.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-23040}}{2\times 48}$$

მიუმატეთ 4900 -23040-ს.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{-18140}}{2\times 48}$$

აიღეთ -18140-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

-70-ის საპირისპიროა 70.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{2\times 48}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 48.

$$x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 70 2i\sqrt{4535}-ს.

$$x=\frac{70+2\sqrt{4535}i}{96}$$

გაყავით 70+2i\sqrt{4535} 96-ზე.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{70±2\sqrt{4535}i}{96} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{4535} 70-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{4535}i+70}{96}$$

გაყავით 70-2i\sqrt{4535} 96-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 0-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12x-ზე, x,3,2,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$12\left(3x+10\right)-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 12 3x+10-ზე.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{x}{2}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. 2-ისა და 4-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 4. გაამრავლეთ \frac{x}{2}-ზე \frac{2}{2}.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\left(\frac{2x}{4}+\frac{7x-6}{4}\right)\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

რადგან \frac{2x}{4}-სა და \frac{7x-6}{4}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{2x+7x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

მსგავსი წევრების გაერთიანება 2x+7x-6-ში.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-3\times \frac{9x-6}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოხატეთ 3\times \frac{9x-6}{4} ერთიანი წილადის სახით.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{3\left(9x-6\right)}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 9x-6-ზე.

$$36x+120-2\left(\frac{9x-4}{3}-\frac{27x-18}{4}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. 3-ისა და 4-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 12. გაამრავლეთ \frac{9x-4}{3}-ზე \frac{4}{4}. გაამრავლეთ \frac{27x-18}{4}-ზე \frac{3}{3}.

$$36x+120-2\left(\frac{4\left(9x-4\right)}{12}-\frac{3\left(27x-18\right)}{12}\right)\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

რადგან \frac{4\left(9x-4\right)}{12}-სა და \frac{3\left(27x-18\right)}{12}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, გამოაკელით მათი მრიცხველები.

$$36x+120-2\times \frac{4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

შეასრულეთ გამრავლება 4\left(9x-4\right)-3\left(27x-18\right)-ში.

$$36x+120-2\times \frac{36x-16-81x+54}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

მსგავსი წევრების გაერთიანება 36x-16-81x+54-ში.

$$36x+120-2\times \frac{-45x+38}{12}\times 12x=6x\left(7x+5\right)$$

გადაამრავლეთ 2 და 12, რათა მიიღოთ 24.

$$36x+120-24\times \frac{-45x+38}{12}x=6x\left(7x+5\right)$$

შეკვეცეთ უდიდეს საერთო გამყოფზე 12 24 და 12.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=6x\left(7x+5\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 6x 7x+5-ზე.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x=42x^{2}+30x$$

გამოაკელით 42x^{2} ორივე მხარეს.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}=30x$$

გამოაკელით 30x ორივე მხარეს.

$$36x+120-2\left(-45x+38\right)x-42x^{2}-30x=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -2 -45x+38-ზე.

$$36x+120+\left(90x-76\right)x-42x^{2}-30x=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 90x-76 x-ზე.

$$36x+120+90x^{2}-76x-42x^{2}-30x=0$$

დააჯგუფეთ 36x და -76x, რათა მიიღოთ -40x.

$$-40x+120+90x^{2}-42x^{2}-30x=0$$

დააჯგუფეთ 90x^{2} და -42x^{2}, რათა მიიღოთ 48x^{2}.

$$-40x+120+48x^{2}-30x=0$$

დააჯგუფეთ -40x და -30x, რათა მიიღოთ -70x.

$$-70x+120+48x^{2}=0$$

გამოაკელით 120 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-70x+48x^{2}=-120$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$48x^{2}-70x=-120$$

ორივე მხარე გაყავით 48-ზე.

$$\frac{48x^{2}-70x}{48}=-\frac{120}{48}$$

48-ზე გაყოფა აუქმებს 48-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{70}{48}\right)x=-\frac{120}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-70}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{120}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-120}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 24-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x=-\frac{5}{2}$$

გაყავით -\frac{35}{24}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{35}{48}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{35}{48}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{35}{48}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{35}{48} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{5}{2}+\frac{1225}{2304}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{2} \frac{1225}{2304}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}=-\frac{4535}{2304}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{35}{24}x+\frac{1225}{2304}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}=-\frac{4535}{2304}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{48}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4535}{2304}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{35}{48}=\frac{\sqrt{4535}i}{48} x-\frac{35}{48}=-\frac{\sqrt{4535}i}{48}$$

მიუმატეთ \frac{35}{48} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{35+\sqrt{4535}i}{48} x=\frac{-\sqrt{4535}i+35}{48}$$