გადაწყვიტეთ 3/x+5/x+2=2

$$\frac { 3 } { x } + \frac { 5 } { x + 2 } = 2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+2\right)-ზე, x,x+2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 3-ზე.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

დააჯგუფეთ 3x და x\times 5, რათა მიიღოთ 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x x+2-ზე.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

გამოაკელით 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

დააჯგუფეთ 8x და -4x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$2x+3-x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}+2x+3=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=3 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+2x+3, როგორც \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-x+3\right)$$

-x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-3\right)\left(-x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-3=0 და -x-1=0.

$$x=3 x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+2\right)-ზე, x,x+2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 3-ზე.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

დააჯგუფეთ 3x და x\times 5, რათა მიიღოთ 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x x+2-ზე.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

გამოაკელით 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

დააჯგუფეთ 8x და -4x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}+4x+6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 4-ით b და 6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 16 48-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ 64-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±8}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{-4±8}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±8}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 8-ს.

$$x=\frac{4}{-4}$$

გაყავით 4 -4-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±8}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8 -4-ს.

$$x=-\frac{12}{-4}$$

გაყავით -12 -4-ზე.

$$x=3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,0 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე x\left(x+2\right)-ზე, x,x+2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+2\right)\times 3+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 3-ზე.

$$3x+6+x\times 5=2x\left(x+2\right)$$

დააჯგუფეთ 3x და x\times 5, რათა მიიღოთ 8x.

$$8x+6=2x\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x x+2-ზე.

$$8x+6=2x^{2}+4x$$

გამოაკელით 2x^{2} ორივე მხარეს.

$$8x+6-2x^{2}=4x$$

გამოაკელით 4x ორივე მხარეს.

$$8x+6-2x^{2}-4x=0$$

დააჯგუფეთ 8x და -4x, რათა მიიღოთ 4x.

$$4x+6-2x^{2}=0$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$4x-2x^{2}=-6$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+4x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}+4x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

გაყავით 4 -2-ზე.

$$x^{2}-2x=-\frac{6}{-2}$$

გაყავით -6 -2-ზე.

$$x^{2}-2x=3$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

მიუმატეთ 3 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=4$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=2 x-1=-2$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=-1$$