გადაწყვიტეთ 2x-5/x^2+3x+2+4/x^2-4=1/x-2

$$\frac { 2 x - 5 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = \frac { 1 } { x - 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=6$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 2x-5-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

დააჯგუფეთ -9x და 4x, რათა მიიღოთ -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

შეკრიბეთ 10 და 4, რათა მიიღოთ 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

დააჯგუფეთ -5x და -3x, რათა მიიღოთ -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

გამოაკელით 2 14-ს 12-ის მისაღებად.

$$x^{2}-8x+12=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-8x+12 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-8 ab=12$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -8.

$$a=-6 b=-2$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და x-2=0.

$$x=6 x=2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 2-ის ტოლი.

$$x=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 2x-5-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

დააჯგუფეთ -9x და 4x, რათა მიიღოთ -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

შეკრიბეთ 10 და 4, რათა მიიღოთ 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

დააჯგუფეთ -5x და -3x, რათა მიიღოთ -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

გამოაკელით 2 14-ს 12-ის მისაღებად.

$$x^{2}-8x+12=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx+12. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -8.

$$a=-6 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-8x+12, როგორც \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

x-ის პირველ, -2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და x-2=0.

$$x=6 x=2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 2-ის ტოლი.

$$x=6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 2x-5-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

დააჯგუფეთ -9x და 4x, რათა მიიღოთ -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

შეკრიბეთ 10 და 4, რათა მიიღოთ 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

დააჯგუფეთ -5x და -3x, რათა მიიღოთ -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-8x+14-2=0$$

გამოაკელით 2 14-ს 12-ის მისაღებად.

$$x^{2}-8x+12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -8-ით b და 12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

მიუმატეთ 64 -48-ს.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

აიღეთ 16-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 4-ს.

$$x=\frac{12}{2}$$

გაყავით 12 2-ზე.

$$x=6$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{8±4}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4 8-ს.

$$x=\frac{4}{2}$$

გაყავით 4 2-ზე.

$$x=2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=6 x=2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 2-ის ტოლი.

$$x=6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x^{2}+3x+2,x^{2}-4,x-2-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 2x-5-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-9x+10+\left(x+1\right)\times 4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 4-ზე.

$$2x^{2}-9x+10+4x+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

დააჯგუფეთ -9x და 4x, რათა მიიღოთ -5x.

$$2x^{2}-5x+10+4=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

შეკრიბეთ 10 და 4, რათა მიიღოთ 14.

$$2x^{2}-5x+14=\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}-5x+14=x^{2}+3x+2$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-5x+14-x^{2}=3x+2$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}-5x+14=3x+2$$

გამოაკელით 3x ორივე მხარეს.

$$x^{2}-5x+14-3x=2$$

დააჯგუფეთ -5x და -3x, რათა მიიღოთ -8x.

$$x^{2}-8x+14=2$$

გამოაკელით 14 ორივე მხარეს.

$$x^{2}-8x=2-14$$

გამოაკელით 14 2-ს -12-ის მისაღებად.

$$x^{2}-8x=-12$$

გაყავით -8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

მიუმატეთ -12 16-ს.

$$x^{2}-8x+16=4$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-8x+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

გაამარტივეთ.

$$x-4=2 x-4=-2$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6 x=2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 2-ის ტოლი.

$$x=6$$