გადაწყვიტეთ 2x-1/x-1+2/1-x^2=1

$$\frac { 2 x - 1 } { x - 1 } + \frac { 2 } { 1 - x ^ { 2 } } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ზე, x-1,1-x^{2}-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\left(2x-1\right)-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 2x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+x-1-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოაკელით 2 -1-ს -3-ის მისაღებად.

$$2x^{2}+x-3=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

განვიხილოთ \left(x-1\right)\left(x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$2x^{2}+x-3=x^{2}-1$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+x-3-x^{2}=-1$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}+x-3=-1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x-3+1=0$$

შეკრიბეთ -3 და 1, რათა მიიღოთ -2.

$$x^{2}+x-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+x-2 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=-2$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-1 b=2$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი.

$$x=-2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ზე, x-1,1-x^{2}-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\left(2x-1\right)-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 2x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+x-1-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოაკელით 2 -1-ს -3-ის მისაღებად.

$$2x^{2}+x-3=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

განვიხილოთ \left(x-1\right)\left(x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$2x^{2}+x-3=x^{2}-1$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+x-3-x^{2}=-1$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}+x-3=-1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x-3+1=0$$

შეკრიბეთ -3 და 1, რათა მიიღოთ -2.

$$x^{2}+x-2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=-1 b=2$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+x-2, როგორც \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი.

$$x=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ზე, x-1,1-x^{2}-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\left(2x-1\right)-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 2x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+x-1-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოაკელით 2 -1-ს -3-ის მისაღებად.

$$2x^{2}+x-3=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

განვიხილოთ \left(x-1\right)\left(x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$2x^{2}+x-3=x^{2}-1$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+x-3-x^{2}=-1$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}+x-3=-1$$

დაამატეთ 1 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x-3+1=0$$

შეკრიბეთ -3 და 1, რათა მიიღოთ -2.

$$x^{2}+x-2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 1-ით b და -2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2}$$

მიუმატეთ 1 8-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±3}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 3-ს.

$$x=\frac{2}{2}$$

გაყავით 2 2-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±3}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 -1-ს.

$$x=-\frac{4}{2}$$

გაყავით -4 2-ზე.

$$x=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი.

$$x=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ზე, x-1,1-x^{2}-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+1\right)\left(2x-1\right)-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+1 2x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+x-1-2=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

გამოაკელით 2 -1-ს -3-ის მისაღებად.

$$2x^{2}+x-3=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

განვიხილოთ \left(x-1\right)\left(x+1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$2x^{2}+x-3=x^{2}-1$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+x-3-x^{2}=-1$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და -x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$x^{2}+x-3=-1$$

დაამატეთ 3 ორივე მხარეს.

$$x^{2}+x=-1+3$$

შეკრიბეთ -1 და 3, რათა მიიღოთ 2.

$$x^{2}+x=2$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 2 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 1-ის ტოლი.

$$x=-2$$