გადაწყვიტეთ 2/x^2-3x+2+1/x^2+3x+2=4/x^2-4

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 3 x + 2 } = \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,1,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+3x+2 2-ზე.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

დააჯგუფეთ 6x და -3x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

შეკრიბეთ 4 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}-1 4-ზე.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

დააჯგუფეთ 3x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

შეკრიბეთ 6 და 4, რათა მიიღოთ 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -10.

$$-1,10 -2,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=5 b=-2$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+3x+10, როგორც \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

-x-ის პირველ, -2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -2-ის ტოლი.

$$x=5$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,1,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+3x+2 2-ზე.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

დააჯგუფეთ 6x და -3x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

შეკრიბეთ 4 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}-1 4-ზე.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

დააჯგუფეთ 3x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+3x+6+4=0$$

შეკრიბეთ 6 და 4, რათა მიიღოთ 10.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 3-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 10}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 10.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 9 40-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 49-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±7}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-3±7}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±7}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 7-ს.

$$x=\frac{4}{-2}$$

გაყავით 4 -2-ზე.

$$x=-2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±7}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 7 -3-ს.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

გაყავით -10 -2-ზე.

$$x=5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2 x=5$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -2-ის ტოლი.

$$x=5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,-1,1,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)-ზე, x^{2}-3x+2,x^{2}+3x+2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\times 2+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}+3x+2 2-ზე.

$$2x^{2}+6x+4+\left(x-2\right)\left(x-1\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-2 x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x^{2}+6x+4+x^{2}-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

დააჯგუფეთ 2x^{2} და x^{2}, რათა მიიღოთ 3x^{2}.

$$3x^{2}+6x+4-3x+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

დააჯგუფეთ 6x და -3x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x^{2}+3x+4+2=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

შეკრიბეთ 4 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$3x^{2}+3x+6=\left(x^{2}-1\right)\times 4$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}-1 4-ზე.

$$3x^{2}+3x+6=4x^{2}-4$$

გამოაკელით 4x^{2} ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+3x+6-4x^{2}=-4$$

დააჯგუფეთ 3x^{2} და -4x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+3x+6=-4$$

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+3x=-4-6$$

გამოაკელით 6 -4-ს -10-ის მისაღებად.

$$-x^{2}+3x=-10$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{10}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{10}{-1}$$

გაყავით 3 -1-ზე.

$$x^{2}-3x=-\frac{10}{-1}$$

გაყავით -10 -1-ზე.

$$x^{2}-3x=10$$

გაყავით -3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 10 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-3x+\frac{9}{4}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -2-ის ტოლი.

$$x=5$$