გადაწყვიტეთ 1/x-2-4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x - 2 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

გამოაკელით 4 2-ს -2-ის მისაღებად.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

განვიხილოთ \left(x-2\right)\left(x+2\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x-2=x^{2}-4$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2-x^{2}=-4$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

შეკრიბეთ -2 და 4, რათა მიიღოთ 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}+x+2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=-2=-2$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=2 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+x+2, როგორც \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-x+2\right)$$

-x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-2\right)\left(-x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-2=0 და -x-1=0.

$$x=2 x=-1$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 2-ის ტოლი.

$$x=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

გამოაკელით 4 2-ს -2-ის მისაღებად.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

განვიხილოთ \left(x-2\right)\left(x+2\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x-2=x^{2}-4$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2-x^{2}=-4$$

დაამატეთ 4 ორივე მხარეს.

$$x-2-x^{2}+4=0$$

შეკრიბეთ -2 და 4, რათა მიიღოთ 2.

$$x+2-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+x+2=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 1-ით b და 2-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 8-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±3}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-1±3}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±3}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 3-ს.

$$x=\frac{2}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±3}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 -1-ს.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

გაყავით -4 -2-ზე.

$$x=2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 2-ის ტოლი.

$$x=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x+2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

გამოაკელით 4 2-ს -2-ის მისაღებად.

$$x-2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

განვიხილოთ \left(x-2\right)\left(x+2\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x-2=x^{2}-4$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x-2-x^{2}=-4$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$x-x^{2}=-4+2$$

შეკრიბეთ -4 და 2, რათა მიიღოთ -2.

$$x-x^{2}=-2$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-2$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{2}{-1}$$

გაყავით 1 -1-ზე.

$$x^{2}-x=-\frac{2}{-1}$$

გაყავით -2 -1-ზე.

$$x^{2}-x=2$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 2 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-1$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს 2-ის ტოლი.

$$x=-1$$