გადაწყვიტეთ 1/x-1-x/x+1-2=0

$$\frac { 1 } { x - 1 } - \frac { x } { x + 1 } - 2 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{10} + 1}{3} \approx 1.387425887$$

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}\approx -0.72075922$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ზე, x-1,x+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x-ზე.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

x^{2}-x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

დააჯგუფეთ x და x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}-1 -2-ზე.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და -2x^{2}, რათა მიიღოთ -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

შეკრიბეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+2x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 2-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 3}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+36}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 4 36-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{40}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 40-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{10}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-2}{-6}$$

გაყავით -2+2\sqrt{10} -6-ზე.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{10}}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{10} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-2}{-6}$$

გაყავით -2-2\sqrt{10} -6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1-\sqrt{10}}{3} x=\frac{\sqrt{10}+1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -1,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-1\right)\left(x+1\right)-ზე, x-1,x+1-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x+1-\left(x-1\right)x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x-ზე.

$$x+1-\left(x^{2}-x\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

x^{2}-x-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x+1-x^{2}+x+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

დააჯგუფეთ x და x, რათა მიიღოთ 2x.

$$2x+1-x^{2}+\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-2\right)=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x+1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$2x+1-x^{2}+\left(x^{2}-1\right)\left(-2\right)=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x^{2}-1 -2-ზე.

$$2x+1-x^{2}-2x^{2}+2=0$$

დააჯგუფეთ -x^{2} და -2x^{2}, რათა მიიღოთ -3x^{2}.

$$2x+1-3x^{2}+2=0$$

შეკრიბეთ 1 და 2, რათა მიიღოთ 3.

$$2x+3-3x^{2}=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$2x-3x^{2}=-3$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{3}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{3}{-3}$$

გაყავით 2 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{3}{-3}$$

გაყავით -3 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=1$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ 1 \frac{1}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{10}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{10}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{10}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{10}}{3}$$