გადაწყვიტეთ 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

ამონახსნის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -8,-5,-2,1 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)-ზე, x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 21 x+5-ზე.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 21x+105 x+8-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 21 x-1-ზე.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 21x-21 x+8-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

დააჯგუფეთ 21x^{2} და 21x^{2}, რათა მიიღოთ 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

დააჯგუფეთ 273x და 147x, რათა მიიღოთ 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოაკელით 168 840-ს 672-ის მისაღებად.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 21 x+2-ზე.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 21x+42 x-1-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

დააჯგუფეთ 42x^{2} და 21x^{2}, რათა მიიღოთ 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

დააჯგუფეთ 420x და 21x, რათა მიიღოთ 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოაკელით 42 672-ს 630-ის მისაღებად.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 7 x+2-ზე.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 7x+14 x+5-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 7x^{2}+49x+70 x+8-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

გადაამრავლეთ 21 და -\frac{1}{21}, რათა მიიღოთ -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -1 x-1-ზე.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -x+1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -x^{2}-x+2 x+5-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ -x^{3}-6x^{2}-3x+10 x+8-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

დააჯგუფეთ 7x^{3} და -14x^{3}, რათა მიიღოთ -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

დააჯგუფეთ 105x^{2} და -51x^{2}, რათა მიიღოთ 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

დააჯგუფეთ 462x და -14x, რათა მიიღოთ 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

შეკრიბეთ 560 და 80, რათა მიიღოთ 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

დაამატეთ 7x^{3} ორივე მხარეს.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

გამოაკელით 54x^{2} ორივე მხარეს.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

დააჯგუფეთ 63x^{2} და -54x^{2}, რათა მიიღოთ 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

გამოაკელით 448x ორივე მხარეს.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

დააჯგუფეთ 441x და -448x, რათა მიიღოთ -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

გამოაკელით 640 ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

გამოაკელით 640 630-ს -10-ის მისაღებად.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

დაამატეთ x^{4} ორივე მხარეს.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

გადაალაგეთ განტოლების წევრები, რათა მიიღოს სტანდარტული ფორმა. განალაგეთ წევრები უდიდესი ხარისხიდან უმცირეს ხარისხამდე თანმიმდევრობით.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს-10 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 x-1-ზე x^{3}+8x^{2}+17x+10-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს10 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}+8x^{2}+17x+10 x+1-ზე x^{2}+7x+10-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, 7 b-თვის და 10 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}+7x+10=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=-5 x=-2$$

წაშალეთ მნიშვნელობები, რომლის ტოლი ცვლადი არ შეიძლება იყოს.

$$x=-1$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან 1,-5,-2 არცერთის ტოლი.

$$x=-1$$