გადაწყვიტეთ 1/x+2+x/x-2=2/x^2-4

$$\frac { 1 } { x + 2 } + \frac { x } { x - 2 } = \frac { 2 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x=1$$

მამრავლებად დაშლის გამოყენების ნაბიჯები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

გამოაკელით 2 -2-ს -4-ის მისაღებად.

$$3x-4+x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$x^{2}+3x-4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+3x-4 შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=-4$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -4.

$$-1,4 -2,2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-1 b=4$$

გადაწერეთ მამრავლებად დაშლილი ლოგიკური ფრაზა \left(x+a\right)\left(x+b\right) მიღებული მნიშვნელობების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

გამოაკელით 2 -2-ს -4-ის მისაღებად.

$$3x-4+x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$x^{2}+3x-4=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-4. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -4.

$$-1,4 -2,2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 3.

$$a=-1 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}+3x-4, როგორც \left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right)$$

x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-1=0 და x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

გამოაკელით 2 ორივე მხარეს.

$$3x-2+x^{2}-2=0$$

გამოაკელით 2 -2-ს -4-ის მისაღებად.

$$3x-4+x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}+3x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, 3-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2}$$

მიუმატეთ 9 16-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±5}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 5-ს.

$$x=\frac{2}{2}$$

გაყავით 2 2-ზე.

$$x=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±5}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 -3-ს.

$$x=-\frac{8}{2}$$

გაყავით -8 2-ზე.

$$x=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=1 x=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს მნიშვნელობათაგან -2,2 არცერთის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე \left(x-2\right)\left(x+2\right)-ზე, x+2,x-2,x^{2}-4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$x-2+\left(x+2\right)x=2$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+2 x-ზე.

$$x-2+x^{2}+2x=2$$

დააჯგუფეთ x და 2x, რათა მიიღოთ 3x.

$$3x-2+x^{2}=2$$

დაამატეთ 2 ორივე მხარეს.

$$3x+x^{2}=2+2$$

შეკრიბეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3x+x^{2}=4$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=4$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 4 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=-4$$