გადაწყვიტეთ 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0.907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3.307130751$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ \frac{1}{3}-ით a, \frac{4}{5}-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{3}-ზე -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

მიუმატეთ \frac{16}{25} \frac{4}{3}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

აიღეთ \frac{148}{75}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -\frac{4}{5} \frac{2\sqrt{111}}{15}-ს.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

გაყავით -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} \frac{2}{3}-ზე -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15}-ის გამრავლებით \frac{2}{3}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{2\sqrt{111}}{15} -\frac{4}{5}-ს.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

გაყავით -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} \frac{2}{3}-ზე -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15}-ის გამრავლებით \frac{2}{3}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 3-ზე.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

\frac{1}{3}-ზე გაყოფა აუქმებს \frac{1}{3}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

გაყავით \frac{4}{5} \frac{1}{3}-ზე \frac{4}{5}-ის გამრავლებით \frac{1}{3}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

გაყავით 1 \frac{1}{3}-ზე 1-ის გამრავლებით \frac{1}{3}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

გაყავით \frac{12}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{6}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{6}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{6}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

მიუმატეთ 3 \frac{36}{25}-ს.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

გამოაკელით \frac{6}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$