გადაწყვიტეთ 1/15x^2-3/10x+1/3=0

$$\frac { 1 } { 15 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 10 } x + \frac { 1 } { 3 } = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=2$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ \frac{1}{15}-ით a, -\frac{3}{10}-ით b და \frac{1}{3}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\times \frac{1}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

გაამრავლეთ -4-ზე \frac{1}{15}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{15}\times \frac{1}{3}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

გაამრავლეთ -\frac{4}{15}-ზე \frac{1}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-\frac{4}{45}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

მიუმატეთ \frac{9}{100} -\frac{4}{45}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{1}{900}}}{2\times \frac{1}{15}}$$

აიღეთ \frac{1}{900}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

-\frac{3}{10}-ის საპირისპიროა \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{2\times \frac{1}{15}}$$

გაამრავლეთ 2-ზე \frac{1}{15}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \frac{3}{10} \frac{1}{30}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{15}}$$

გაყავით \frac{1}{3} \frac{2}{15}-ზე \frac{1}{3}-ის გამრავლებით \frac{2}{15}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=\frac{5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{3}{10} \frac{1}{30}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების გამოკლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{15}}$$

გაყავით \frac{4}{15} \frac{2}{15}-ზე \frac{4}{15}-ის გამრავლებით \frac{2}{15}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3}-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x=-\frac{1}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ 15-ზე.

$$\frac{\frac{1}{15}x^{2}-\frac{3}{10}x}{\frac{1}{15}}=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

\frac{1}{15}-ზე გაყოფა აუქმებს \frac{1}{15}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{15}}\right)x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

გაყავით -\frac{3}{10} \frac{1}{15}-ზე -\frac{3}{10}-ის გამრავლებით \frac{1}{15}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{15}}$$

გაყავით -\frac{1}{3} \frac{1}{15}-ზე -\frac{1}{3}-ის გამრავლებით \frac{1}{15}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-5$$

გაყავით -\frac{9}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{9}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{9}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{9}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-5+\frac{81}{16}$$

მიუმატეთ -5 \frac{81}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{9}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{2} x=2$$