გადაწყვიტეთ (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

ამოხსნა a-ისთვის

$$a\leq 1$$

ამონახსნის ეტაპები

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე. რადგან 2 დადებითია, უტოლობის მიმართულება უცვლელი რჩება.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(2a-5\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(a-3\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

a^{2}-6a+9-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9-ზე.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

გამოხატეთ 2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} ერთიანი წილადის სახით.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

გააბათილეთ 2 და 2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

დააჯგუფეთ 4a^{2} და -2a^{2}, რათა მიიღოთ 2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

დააჯგუფეთ -20a და 12a, რათა მიიღოთ -8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

გამოაკელით 18 25-ს 7-ის მისაღებად.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

შეკრიბეთ 7 და 1, რათა მიიღოთ 8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

გამოაკელით 2a^{2} ორივე მხარეს.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

დააჯგუფეთ 2a^{2} და -2a^{2}, რათა მიიღოთ 0.

$$-8a+8\geq 0$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-8a\geq -8$$

ორივე მხარე გაყავით -8-ზე. რადგან -8 უარყოფითია, უტოლობის მიმართულება შეიცვალა.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

გაყავით -8 -8-ზე 1-ის მისაღებად.

$$a\leq 1$$