გადაწყვიტეთ frac{sqrt{2}-1}{2sqrt{2}+1}*frac{sqrt{2}+1}{-sqrt{2}+1}=

$$\frac { \sqrt { 2 } - 1 } { 2 \sqrt { 2 } + 1 } \cdot \frac { \sqrt { 2 } + 1 } { - \sqrt { 2 } + 1 } =$$

შეფასება

$$\frac{-\sqrt{2}-3}{7}\approx -0.630601937$$

ამონახსნის ეტაპები

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}+1} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის 2\sqrt{2}-1-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{\left(2\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

განვიხილოთ \left(2\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

დაშალეთ \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

გამოთვალეთ2-ის 2 ხარისხი და მიიღეთ 4.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{4\times 2-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

გადაამრავლეთ 4 და 2, რათა მიიღოთ 8.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{8-1^{2}}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

გამოთვალეთ2-ის 1 ხარისხი და მიიღეთ 1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{8-1}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

გამოაკელით 1 8-ს 7-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1}$$

გაათავისუფლეთ ირაციონალურობებისგან \frac{\sqrt{2}+1}{-\sqrt{2}+1} მნიშვნელი მრიცხველისა და მნიშვნელის -\sqrt{2}-1-ზე გამრავლებით.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(-\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}$$

განვიხილოთ \left(-\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(-\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

გამოთვალეთ2-ის -\sqrt{2} ხარისხი და მიიღეთ \left(\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1^{2}}$$

გამოთვალეთ2-ის 1 ხარისხი და მიიღეთ 1.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{2-1}$$

გამოაკელით 1 2-ს 1-ის მისაღებად.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\times \frac{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)}{1}$$

ყველაფერი რაც იყოფა ერთზე გვაძლევს თავის თავს.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\left(\sqrt{2}+1\right)\left(-\sqrt{2}-1\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ \sqrt{2}+1-ის თითოეული წევრი -\sqrt{2}-1-ის თითოეულ წევრზე.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)$$

გამოხატეთ \frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{7}\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right) ერთიანი წილადის სახით.

$$\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ \sqrt{2}-1-ის თითოეული წევრი 2\sqrt{2}-1-ის თითოეულ წევრზე.

$$\frac{\left(2\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{\left(2\times 2-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

გადაამრავლეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

დააჯგუფეთ -\sqrt{2} და -2\sqrt{2}, რათა მიიღოთ -3\sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-3\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

შეკრიბეთ 4 და 1, რათა მიიღოთ 5.

$$\frac{\left(5-3\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1\right)}{7}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ 5-3\sqrt{2}-ის თითოეული წევრი \sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}-\sqrt{2}-1-ის თითოეულ წევრზე.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5-3\left(-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}\right)^{2}+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5-3\left(-\sqrt{2}\right)\times 2+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

გადაამრავლეთ -3 და 2, რათა მიიღოთ -6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5-6\left(-\sqrt{2}\right)+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

გადაამრავლეთ -6 და -1, რათა მიიღოთ 6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)-5\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+6\sqrt{2}+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

დააჯგუფეთ -5\sqrt{2} და 6\sqrt{2}, რათა მიიღოთ \sqrt{2}.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+3\left(\sqrt{2}\right)^{2}-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

\sqrt{2}-ის კვადრატია 2.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+3\times 2-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

გადაამრავლეთ 3 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)-5+6-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

შეკრიბეთ -5 და 6, რათა მიიღოთ 1.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1-3\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}}{7}$$

გადაამრავლეთ -3 და -1, რათა მიიღოთ 3.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+3\sqrt{2}\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{7}$$

გადაამრავლეთ \sqrt{2} და \sqrt{2}, რათა მიიღოთ 2.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+3\times 2+3\sqrt{2}}{7}$$

დააჯგუფეთ \sqrt{2} და 3\sqrt{2}, რათა მიიღოთ 4\sqrt{2}.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+3\times 2}{7}$$

გადაამრავლეთ 3 და 2, რათა მიიღოთ 6.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+1+6}{7}$$

შეკრიბეთ 1 და 6, რათა მიიღოთ 7.

$$\frac{5\sqrt{2}\left(-\sqrt{2}\right)+4\sqrt{2}+5\left(-\sqrt{2}\right)+7}{7}$$

გადაამრავლეთ 5 და -1, რათა მიიღოთ -5.

$$\frac{-5\sqrt{2}\sqrt{2}+4\sqrt{2}+5\left(-1\right)\sqrt{2}+7}{7}$$

გადაამრავლეთ \sqrt{2} და \sqrt{2}, რათა მიიღოთ 2.

$$\frac{-5\times 2+4\sqrt{2}+5\left(-1\right)\sqrt{2}+7}{7}$$

გადაამრავლეთ -5 და 2, რათა მიიღოთ -10.

$$\frac{-10+4\sqrt{2}+5\left(-1\right)\sqrt{2}+7}{7}$$

გადაამრავლეთ 5 და -1, რათა მიიღოთ -5.

$$\frac{-10+4\sqrt{2}-5\sqrt{2}+7}{7}$$

დააჯგუფეთ 4\sqrt{2} და -5\sqrt{2}, რათა მიიღოთ -\sqrt{2}.

$$\frac{-10-\sqrt{2}+7}{7}$$

შეკრიბეთ -10 და 7, რათა მიიღოთ -3.

$$\frac{-3-\sqrt{2}}{7}$$