x で微分する
-\sin(x)
計算
\cos(x)
グラフ
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)
関数 f\left(x\right) では、その極限が存在する場合、微分係数は h が 0 に近づくときの \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} の極限です。
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
余弦の加法定理を使用します。
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}
\cos(x) をくくり出します。
\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
極限を書き換えます。
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
h が 0 に限定されるように計算するときに、x は定数となることを使用します。
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)
極限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} は 1 です。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
極限 \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} の値を求めるには、まず分子と分母を \cos(h)+1 で乗算します。
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
\cos(h)+1 と \cos(h)-1 を乗算します。
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
ピタゴラスの公式を使用します。
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
極限を書き換えます。
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
極限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} は 1 です。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} が 0 で連続であるという事実を使用します。
-\sin(x)
値 0 を式 \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x) に代入します。