Risolvi z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Trova z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sostituisci t per z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -1 con b e 1 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Poiché z=t^{3}, le soluzioni vengono ottenute risolvendo l'equazione per ogni t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$