Risolvi z^3+3z^2-25z-75=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } - 25 z - 75 = 0$$

Trova z

$$z=-3$$

$$z=5$$

$$z=-5$$

Procedura della soluzione

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -75 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±75,±25,±15,±5,±3,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$z=-3$$

Per teorema di fattore, z-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi z^{3}+3z^{2}-25z-75 per z+3 per ottenere z^{2}-25. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$z^{2}-25=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, 0 con b e -25 con c nella formula quadratica.

$$z=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$z=\frac{0±10}{2}$$

Risolvi l'equazione z^{2}-25=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$z=-5 z=5$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$z=-3 z=-5 z=5$$