Risolvi z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Trova z (soluzione complessa)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

Procedura della soluzione

Con il teorema delle radici razionali tutte le radici razionali di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -8 e q divide il coefficiente principale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$z=1$$

Per teorema di fattore, z-k è un fattore del polinomio per ogni k di radice. Dividi z^{3}+3z^{2}+4z-8 per z-1 per ottenere z^{2}+4z+8. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, 4 con b e 8 con c nella formula quadratica.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Risolvi l'equazione z^{2}+4z+8=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Trova z

$$z=1$$

Procedura della soluzione

Con il teorema delle radici razionali tutte le radici razionali di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -8 e q divide il coefficiente principale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$z=1$$

Per teorema di fattore, z-k è un fattore del polinomio per ogni k di radice. Dividi z^{3}+3z^{2}+4z-8 per z-1 per ottenere z^{2}+4z+8. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, 4 con b e 8 con c nella formula quadratica.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Poiché la radice quadrata di un numero negativo non è definita nel campo reale, non esistono soluzioni.

$$z\in \emptyset$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$z=1$$