Risolvi z^2-iz-1=0

$$z ^ { 2 } - i z - 1 = 0$$

Trova z

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx 0,866025404+0,5i$$

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx -0,866025404+0,5i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -i a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{i±\sqrt{\left(-i\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Eleva -i al quadrato.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1+4}}{2}$$

Aggiungi -1 a 4.

$$z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} quando ± è più. Aggiungi i a \sqrt{3}.

$$z=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Dividi i+\sqrt{3} per 2.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{3} da i.

$$z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$$

Dividi i-\sqrt{3} per 2.

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$z^{2}-iz-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$z^{2}-iz=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$z^{2}-iz=1$$

Dividi -i, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}i. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2}i a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}-iz+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2}i al quadrato.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$$

Aggiungi 1 a -\frac{1}{4}.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Fattore z^{2}-iz-\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Semplifica.

$$z-\frac{1}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2} z-\frac{1}{2}i=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2}i a entrambi i lati dell'equazione.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$