Risolvi z^2-4z-32=0

$$z ^ { 2 } - 4 z - 32 = 0$$

Trova z

$$z=-4$$

$$z=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore z^{2}-4z-32 utilizzando la formula z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=-32$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-8 b=4$$

Riscrivi scomposte espressione \left(z+a\right)\left(z+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(z-8\right)\left(z+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere z-8=0 e z+4=0.

$$z=8 z=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come z^{2}+az+bz-32. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=1\left(-32\right)=-32$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -32.

$$1,-32 2,-16 4,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-32=-31 2-16=-14 4-8=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-8 b=4$$

Riscrivi z^{2}-4z-32 come \left(z^{2}-8z\right)+\left(4z-32\right).

$$\left(z^{2}-8z\right)+\left(4z-32\right)$$

Fattori in z nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$z\left(z-8\right)+4\left(z-8\right)$$

Fattorizza il termine comune z-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(z-8\right)\left(z+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere z-8=0 e z+4=0.

$$z=8 z=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$z^{2}-4z-32=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -4 a b e -32 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-32\right)}}{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-32\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -32.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2}$$

Aggiungi 16 a 128.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±12}{2}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$z=\frac{4±12}{2}$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{4±12}{2} quando ± è più. Aggiungi 4 a 12.

$$z=\frac{16}{2}$$

Dividi 16 per 2.

$$z=8$$

Ora risolvi l'equazione z=\frac{4±12}{2} quando ± è meno. Sottrai 12 da 4.

$$z=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$z=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$z=8 z=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-4z-32=0$$

Aggiungi 32 a entrambi i lati dell'equazione.

$$z^{2}-4z-32-\left(-32\right)=-\left(-32\right)$$

Sottraendo -32 da se stesso rimane 0.

$$z^{2}-4z=-\left(-32\right)$$

Sottrai -32 da 0.

$$z^{2}-4z=32$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$z^{2}-4z+\left(-2\right)^{2}=32+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$z^{2}-4z+4=32+4$$

Aggiungi 32 a 4.

$$z^{2}-4z+4=36$$

Fattore z^{2}-4z+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-2\right)^{2}=36$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(z-2\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Semplifica.

$$z-2=6 z-2=-6$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$z=8 z=-4$$