Risolvi y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Trova y,.x

$$x=12$$

$$y=38$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-3x=2$$

Aggiungi 3x a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=3x+2$$

Sostituisci 3x+2 a y nell'altra equazione -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Moltiplica -2 per 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Aggiungi -6x a 7x.

$$x-4=8$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=12$$

Sostituisci 12 a x in y=3x+2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=3\times 12+2$$

Moltiplica 3 per 12.

$$y=36+2$$

Aggiungi 2 a 36.

$$y=38$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=38,x=12$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=38,x=12$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Per rendere y e -2y uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Semplifica.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Sottrai -2y+7x=8 a -2y+6x=-4 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Aggiungi -2y a 2y. I termini -2y e 2y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$6x-7x=-4-8$$

Aggiungi 6x a -7x.

$$-x=-4-8$$

Aggiungi -4 a -8.

$$-x=-12$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$x=12$$

Sostituisci 12 a x in -2y+7x=8. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Moltiplica 7 per 12.

$$-2y+84=8$$

Sottrai 84 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2y=-76$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$y=38$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=38,x=12$$