Risolvi y^2-8y+12=0

$$y ^ { 2 } - 8 y + 12 = 0$$

Trova y

$$y=2$$

$$y=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare y^{2}-8y+12 usando la formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-6 b=-2$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(y+a\right)\left(y+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi y-6=0 e y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by+12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-6 b=-2$$

Riscrivi y^{2}-8y+12 come \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

Fattorizza y nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Fattorizzare il termine comune y-6 usando la proprietà distributiva.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi y-6=0 e y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -8 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Aggiungi 64 a -48.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$y=\frac{8±4}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{8±4}{2} quando ± è più. Aggiungi 8 a 4.

$$y=\frac{12}{2}$$

Dividi 12 per 2.

$$y=6$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{8±4}{2} quando ± è meno. Sottrai 4 da 8.

$$y=\frac{4}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$y=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=6 y=2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y^{2}-8y+12-12=-12$$

Sottraendo 12 da se stesso rimane 0.

$$y^{2}-8y=-12$$

Dividi -8, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -4. Quindi aggiungi il quadrato di -4 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-8y+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$y^{2}-8y+16=-12+16$$

Aggiungi -12 a 16.

$$y^{2}-8y+16=4$$

Scomponi y^{2}-8y+16 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-4\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$y-4=2 y-4=-2$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=6 y=2$$