Risolvi y^2-10y+16=0

$$y ^ { 2 } - 10 y + 16 = 0$$

Trova y

$$y=2$$

$$y=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore y^{2}-10y+16 utilizzando la formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-10 ab=16$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -10 come somma.

$$a=-8 b=-2$$

Riscrivi scomposte espressione \left(y+a\right)\left(y+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-8=0 e y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by+16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-10 ab=1\times 16=16$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 16.

$$-1,-16 -2,-8 -4,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-16=-17 -2-8=-10 -4-4=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -10 come somma.

$$a=-8 b=-2$$

Riscrivi y^{2}-10y+16 come \left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right).

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(-2y+16\right)$$

Fattori in y nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$y\left(y-8\right)-2\left(y-8\right)$$

Fattorizza il termine comune y-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-8\right)\left(y-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-8=0 e y-2=0.

$$y=8 y=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -10 a b e 16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 16}}{2}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 16}}{2}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-64}}{2}$$

Aggiungi 100 a -64.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±6}{2}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$y=\frac{10±6}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{10±6}{2} quando ± è più. Aggiungi 10 a 6.

$$y=\frac{16}{2}$$

Dividi 16 per 2.

$$y=8$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{10±6}{2} quando ± è meno. Sottrai 6 da 10.

$$y=\frac{4}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$y=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=8 y=2$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-10y+16=0$$

Sottrai 16 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y^{2}-10y+16-16=-16$$

Sottraendo 16 da se stesso rimane 0.

$$y^{2}-10y=-16$$

Dividi -10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -5. Quindi aggiungi il quadrato di -5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$y^{2}-10y+25=-16+25$$

Aggiungi -16 a 25.

$$y^{2}-10y+25=9$$

Fattore y^{2}-10y+25. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$y-5=3 y-5=-3$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=8 y=2$$