Risolvi y^2+9y=-8

$$y ^ { 2 } + 9 y = - 8$$

Trova y

$$y=-8$$

$$y=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Aggiungi 8 a entrambi i lati.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore y^{2}+9y+8 utilizzando la formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=9 ab=8$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8.

$$1,8 2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+8=9 2+4=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 9 come somma.

$$a=1 b=8$$

Riscrivi scomposte espressione \left(y+a\right)\left(y+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y+1=0 e y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 8 a entrambi i lati.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by+8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=9 ab=1\times 8=8$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8.

$$1,8 2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+8=9 2+4=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 9 come somma.

$$a=1 b=8$$

Riscrivi y^{2}+9y+8 come \left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(8y+8\right)$$

Fattori in y nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$y\left(y+1\right)+8\left(y+1\right)$$

Fattorizza il termine comune y+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y+1\right)\left(y+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y+1=0 e y+8=0.

$$y=-1 y=-8$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y^{2}+9y=-8$$

Aggiungi 8 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=-8-\left(-8\right)$$

Sottraendo -8 da se stesso rimane 0.

$$y^{2}+9y-\left(-8\right)=0$$

Sottrai -8 da 0.

$$y^{2}+9y+8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 9 a b e 8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 8}}{2}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 8}}{2}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-32}}{2}$$

Aggiungi 81 a -32.

$$y=\frac{-9±\sqrt{49}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$y=\frac{-9±7}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-9±7}{2} quando ± è più. Aggiungi -9 a 7.

$$y=-\frac{2}{2}$$

Dividi -2 per 2.

$$y=-1$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-9±7}{2} quando ± è meno. Sottrai 7 da -9.

$$y=-\frac{16}{2}$$

Dividi -16 per 2.

$$y=-8$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=-1 y=-8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}+9y=-8$$

Dividi 9, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{9}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+9y+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{9}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$$

Aggiungi -8 a \frac{81}{4}.

$$y^{2}+9y+\frac{81}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore y^{2}+9y+\frac{81}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$y+\frac{9}{2}=\frac{7}{2} y+\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$$

Sottrai \frac{9}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-1 y=-8$$