Risolvi y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Trova y,.x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=-9$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=5$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-x=-9$$

Aggiungi x a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=x-9$$

Sostituisci x-9 a y nell'altra equazione y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Aggiungi x a x.

$$2x-9=5$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=14$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=7$$

Sostituisci 7 a x in y=x-9. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=7-9$$

Aggiungi -9 a 7.

$$y=-2$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=-2,x=7$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=-9$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=5$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=-2,x=7$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=-9$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=5$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Sottrai y+x=5 a y-x=-9 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-x-x=-9-5$$

Aggiungi -x a -x.

$$-2x=-9-5$$

Aggiungi -9 a -5.

$$-2x=-14$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$x=7$$

Sostituisci 7 a x in y+x=5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y+7=5$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-2$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=-2,x=7$$