Risolvi y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Trova y,.x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=5$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=3$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-x=5,y+x=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-x=5$$

Aggiungi x a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=x+5$$

Sostituisci x+5 a y nell'altra equazione y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Aggiungi x a x.

$$2x+5=3$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=-2$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=-1$$

Sostituisci -1 a x in y=x+5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=-1+5$$

Aggiungi 5 a -1.

$$y=4$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=4,x=-1$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=5$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=3$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-x=5,y+x=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=4,x=-1$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai x da entrambi i lati.

$$y-x=5$$

Considera la seconda equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=3$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-x=5,y+x=3$$

Sottrai y+x=3 a y-x=5 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y-x-x=5-3$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-x-x=5-3$$

Aggiungi -x a -x.

$$-2x=5-3$$

Aggiungi 5 a -3.

$$-2x=2$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$x=-1$$

Sostituisci -1 a x in y+x=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y-1=3$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=4$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=4,x=-1$$