Risolvi y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Trova y,.x

$$x=1$$

$$y=1$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=-1$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-2x=-1$$

Aggiungi 2x a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=2x-1$$

Sostituisci 2x-1 a y nell'altra equazione y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Aggiungi 2x a 2x.

$$4x-1=3$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$4x=4$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=1$$

Sostituisci 1 a x in y=2x-1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=2-1$$

Aggiungi -1 a 2.

$$y=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=1,x=1$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=-1$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=1,x=1$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=-1$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Sottrai y+2x=3 a y-2x=-1 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-2x-2x=-1-3$$

Aggiungi -2x a -2x.

$$-4x=-1-3$$

Aggiungi -1 a -3.

$$-4x=-4$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$x=1$$

Sostituisci 1 a x in y+2x=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y+2=3$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=1,x=1$$