Risolvi y=2x+3quadtext{y}quadx=2y+3

$$y = 2 x + 3 \quad \text { y } \quad x = 2 y + 3$$

Trova y,.x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$x-2y=3$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-2x=3$$

Aggiungi 2x a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=2x+3$$

Sostituisci 2x+3 a y nell'altra equazione -2y+x=3.

$$-2\left(2x+3\right)+x=3$$

Moltiplica -2 per 2x+3.

$$-4x-6+x=3$$

Aggiungi -4x a x.

$$-3x-6=3$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-3x=9$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$x=-3$$

Sostituisci -3 a x in y=2x+3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Moltiplica 2 per -3.

$$y=-6+3$$

Aggiungi 3 a -6.

$$y=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=-3,x=-3$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$x-2y=3$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=-3,x=-3$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2y da entrambi i lati.

$$x-2y=3$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Per rendere y e -2y uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$-2y-2\left(-2\right)x=-2\times 3,-2y+x=3$$

Semplifica.

$$-2y+4x=-6,-2y+x=3$$

Sottrai -2y+x=3 a -2y+4x=-6 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-2y+2y+4x-x=-6-3$$

Aggiungi -2y a 2y. I termini -2y e 2y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4x-x=-6-3$$

Aggiungi 4x a -x.

$$3x=-6-3$$

Aggiungi -6 a -3.

$$3x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=-3$$

Sostituisci -3 a x in -2y+x=3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$-2y-3=3$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-2y=6$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$y=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=-3,x=-3$$