Risolvi y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Trova y,.x

$$x=2$$

$$y=5$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=1$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-2x=1$$

Aggiungi 2x a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=2x+1$$

Sostituisci 2x+1 a y nell'altra equazione y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Aggiungi 2x a x.

$$3x+1=7$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=6$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=2$$

Sostituisci 2 a x in y=2x+1. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=2\times 2+1$$

Moltiplica 2 per 2.

$$y=4+1$$

Aggiungi 1 a 4.

$$y=5$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=5,x=2$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=1$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=5,x=2$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=1$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Sottrai y+x=7 a y-2x=1 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-2x-x=1-7$$

Aggiungi -2x a -x.

$$-3x=1-7$$

Aggiungi 1 a -7.

$$-3x=-6$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$x=2$$

Sostituisci 2 a x in y+x=7. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y+2=7$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=5$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=5,x=2$$