Risolvi y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Trova y,.x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai \frac{4}{3}x da entrambi i lati.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=8$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Aggiungi \frac{4x}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Sostituisci \frac{-28+4x}{3} a y nell'altra equazione y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Aggiungi \frac{4x}{3} a -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Aggiungi \frac{28}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{2}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$x=-26$$

Sostituisci -26 a x in y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Moltiplica \frac{4}{3} per -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Aggiungi -\frac{28}{3} a -\frac{104}{3} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y=-44$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=-44,x=-26$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai \frac{4}{3}x da entrambi i lati.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=8$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=-44,x=-26$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai \frac{4}{3}x da entrambi i lati.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=8$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Sottrai y-2x=8 a y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Aggiungi -\frac{4x}{3} a 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Aggiungi -\frac{28}{3} a -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{2}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$x=-26$$

Sostituisci -26 a x in y-2x=8. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Moltiplica -2 per -26.

$$y+52=8$$

Sottrai 52 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-44$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=-44,x=-26$$